Tópicos de Geometria - CMUP

Se H éumhiperplanodeR n e a 2 H, entãoH ¡ a é um subespaço linear de dimensão
n ¡ 1, logoexisteb 6= 0(e podemos supôr kbk =1)talqueH ¡ a = fbg ⊥ =
fx 2 R n : hb, xi =0g: podemos considerar uma base ortonormal para H ¡ a e estendê-la,
por um vector b, a uma base ortonormal de R n (veja o exercício seguinte). Portanto H
pode ser descrito como H = fy 2 R n : hb, yi = tg, ou seja como o conjunto dos vectores
que têm a mesma projecção sobre o vector b.
Exercício 24 Recorde o processo de Gram-Schmidt para a obtenção de bases ortonormadas:
dada uma base fa 1 ,a 2 , ..., a j g de um subespaço S de R n , começa-se por obter a
partir dela, por recorrência, uma base ortogonal:
Xk−1
µ hak ,f i i
f 1 = a 1 , ... , f k = a k ¡
f i , ...
hf i ,f i i
a) Aplique o método à seguinte base:
i=1
fa 1 =(2, 1, 1),a 2 =(0, 1, 0),a 3 =(0, 0, 1)g
Os hiperplanos aparecem naturalmente como os bissectores ortogonais de segmentos:
Exercício 25 Se a, b 2 R n com a 6= b, entãoB = fx : d(x, a) =d(x, b)g éumhiperplano
de R n .
Exercício 26 Seja H um hiperplano em R n . Mostre que todo x 2 R n se pode escrever
de forma única como x = y + z com y 2 H e z? (H ¡ y).
1.2 Reflexões em hiperplanos
Definição 27 Seja H um hiperplano em R n .Areflexão em H éaisometriaR H 2 I(R n )
definida por
R H (x) =y ¡ z
em que x = y + z com y 2 H e z? (H ¡ y) (exercício anterior).
Note-se que R H 2 = id equeR H é a identidade em H. Se H é o bissector ortogonal
do segmento ab, R H permuta a e b.
Exercício 28 Seja H um hiperplano e 0 2 H (H é portanto um subespaço linear de
codimensão 1). Mostre que a reflexão em H é dada por:
R H (x) =x ¡ 2 hx, ai a em que a?H ,kak =1
Exercício 29 (Generalização do exercício anterior) Mostre que se H éumhiperplano
dado por H = fx : ha, xi = tg em que a?(H ¡ h),h2 H (jávimosquetodoohiperplano
pode ser dado desta forma)
R H (x) =x ¡ 2 hx, a ¡ ti
a
ha, ai
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