Tópicos de Geometria - CMUP

ser sequer um ponto de L ou, no caso n =3, o seu eixo não passar por L)(Sugestão:
recorde que toda a isometria se escreve como a composta de uma aplicação ortogonal com
uma isometria)
Definição 138 Um grupo cristalográfico é um subgrupo G ∙ I(R n ) cujo subgrupo das
translações, G T = G \ R n , constitui um reticulado.
Exercício 139 Mostre que a definição anterior é equivalente a dizer que G contém n
translações independentes, mas não contém translações por vectores de norma arbitrariamente
pequena.
Note-se que na definição de grupo cristalográfico é apenas dito que o subgrupo das
translações forma um reticulado, mas não que o grupo em questão é o grupo de simetria
desse reticulado, nem mesmo que é um subgrupo deste; a equivalência de grupos cristalográficos
é feita, digamos, a menos dos respectivos reticulados: as aplicações mais naturais
que enviam um reticulado noutro reticulado são aplicações afim, porque preservam as
relações de colinearidade e coplanaridade. Por isso, dizemos:
Definição 140 Dois grupos cristalográficos G, G 0 ∙ I(R n ) são equivalentes se são conjugados
em Afim(R n ).
Como é indicado mais adiante, sabe-se (1910, Bieberbach) que dois grupos cristalográficos
são equivalentes se e só se são isomorfos como grupos, em abstracto.
9.1 A classificação dos grupos cristalográficos
Esta classificação existe para n =2e 3: foifeitanofinal do século XIX por E.S.Fedorov
e, um pouco mais tarde, também por A.Schoenflies. Amenosdeequivalênciahá219
grupos cristalográficos espaciais; ou 230 se se considerar apenas as aplicações afins que
preservam a orientação (isto é, cuja parte linear tem determinante positivo). No caso
n = 2, estes grupos dizem-se grupos ornamentais ou grupos de papel-de-parede, pois
representam todos os tipos de padrões de simetria que podemos encontrar nesses papéis:
existem, precisamente, 17 grupos de papel-de-parede; sabe-se que todos estes 17 padrões
eram conhecidos, pelo menos empiricamente, pelos Mouros, como se pode verificar nos
ornamentos do Palácio de Alhambra em Granada (a história da identificação recente de
todos os 17 padrões no Alhambra é muito curiosa: ver o excelente vídeo [12]).
Há muitas textos de divulgação matemática (como rapidamente se comprova por uma
pesquisa na www) sobre os grupos de papel-de-parede, e há muitas provas elementares e
relativamente simples de que são de facto 17 e que contêm, em geral, a descrição de cada
um deles: ver [10] ou [4, Capítulo 11].
O livro Tilings and Patterns, [9], é a referência máxima em questões de simetria: nas
páginas 40 ¡ 45 pode encontrar também uma descrição cuidada dos 17 padrões; este
livrocontémtambémumaprovadaclassificação, mas é menos elementar (aparece como
consequência de uma classificação mais geral de certos tipos de pavimentação); é curioso,
comparando coma última referência, que este livro ainda afirma que a ideia de que no
Alhambra seria possível detectar os 17 padrões é infundada.
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