Tópicos de Geometria - CMUP

Finalmente, pode-se verificar que os últimos grupos que obtivemos são também grupos
de simetria de sólidos, o que deixamos como exercício.
Exercício 130 Verifique que OT é simplesmente o grupo de simetria do tetraedro.
Exercício 131 Construa prismas e anti-prismas (com telhados) cujos grupos de simetrias
sejam C 2n C n , D n C n e D 2n D n .
Note-se que do ponto de vista puramente algébrico, depois do estudo dos grupos finitos
de rotações, a consideração de grupos finitos de isometrias contendo também isometrias
inversas apenas acrescentou àquela lista de rotações os seus produtos directos com f§1g.
Portanto, um grupo finito de isometrias de R 3 é isomorfo a um grupo cíclico, diedral, o
produto de um destes com f§1g, ouaogrupodesimetriasdeumsólidoplatónico.
8.7 Exercícios de revisão e aplicação...
1. Excluindo o tetraedro, descreva as simetrias de uma pirâmide com o polígono regular
de n lados, P n , como base. Excluindo o octaedro, descreva também as simetrias da
correspondente bipirâmide.
2. Descreva as simetrias do prisma P n ,excluindoocubo(n =4); descreva também as
simetrias do anti-prisma P 0 n, excluindo o caso do octaedro.
3. Descreva as simetrias do octaedro truncado.
4. Prove ou negue a seguinte afirmação: uma reflexão rotativa que não é uma inversão
tem ordem infinita.
5. Mostre que o produto de dois meios-giros R(m, π) e R(n, π) éummeio-girosse os
eixos m e n são perpendiculares.
6. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas:
(a) Um grupo finito de isometrias directas de R 3 é isomorfo a um dos grupos C n ,
D n , T , O ou I.
(b) Os grupos O e I sãoosúnicosgruposderotaçõesG tais que G não é subgrupo
deumgrupoderotaçõescujaordeméodobrodadeG.
(c) Se R x ,R y ,R z designam os meios-giros em torno do eixo dos xx do eixo dos yy
edoeixodoszz, respectivamente, então R y R x = R z .
(d) Se a figura X está contida na figura Y ,entãoogrupodesimetriadeX éum
subgrupo do grupo de simetria de Y : S(X) ∙ S(Y ).
(e) Se um grupo G de isometrias de R 3 contém apenas a identidade e rotações,
então G é um grupo cíclico.
(f) Os grupos C 2n C n ,D n C n e D 2n D n têm ordem 2n.
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