Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 141 Obtenha, nas referências dadas, uma descrição dos 17 grupos cristalográficos
planos e exemplos de padrões de simetria para cada um deles; prepare um processo
com transparências para verificar, em cada caso,as simetrias desses padrões.
Nota: em dimensão 2, uma classificaçãomaisfácildoqueadosgruposdepapel-deparede
é a dos chamados grupos de friso: são grupos G ∙ I(R 2 ) em que o subgrupo das
translações, G T = G \ R n , não constitui um reticulado mas contém apenas translações
em direcções paralelas e sem translações por vectores de norma arbitrariamente pequena:
ou seja, G T = hT a i. Existem, a menos de equivalência, 7 grupos de friso: ver [4, Capítulo
10].
Exercício 142 Complemente o exercício anterior, incluindo os grupos de friso.
Seja G ∙ I(R n ) um grupo cristalográfico e G T = G \ R n o reticulado associado.
Recorde-se, mais uma vez,que toda a isometria f 2 I(R n ) se escreve como f = T a M com
M 2 O(n); M diz-se a parte ortogonal ou parte linear de f : dito de outro modo, I(R n )
éoproduto semi-directo O(n) ˜£R n . O subgrupo Ḡ das partes ortogonais dos elementos
de G é, portanto, um subgrupo de O(n) e é naturalmente isomorfo ao grupo quociente
G/G T (G T é subgrupo normal de índice finito): é chamado o grupo pontual de G (point
group em inglês).
Em 1910, L. Bieberbach provou os seguintes resultados gerais:
1. O subgrupo Ḡ é finito: G T é subgrupo normal de índice finito (para n =3tinha
sido provado por Schoenflies).
2. Dois grupos cristalográficos são equivalentes sse são isomorfos.
3. Para cada n, existe apenas, a menos de equivalência, um número finito de grupos
cristalográficos.
Nota: G T ∙ G éisomorfoaZ n , é normal de índice finito, e, além disso, mostra-se que
coincide com o seu centralizador em G: em 1948, H. Zassenhaus mostrou que a existência,
num grupo G, de um subgrupo com estas propriedades, é condição suficiente para G ser
isomorfo a um grupo cristalográfico.
Note-se que o grupo pontual Ḡ de um grupo cristalográfico G não é necessáriamente
isomorfo ao estabilizador, Stab(x) =G x ,dealgumpontox paraaacçãodeG em R n :
pode até nem ser isomorfo a nenhum subgrupo de G. NoentantoḠ actuanoreticulado
L ´ G T :
Lema 143 Seja G um grupo cristalográfico com reticulado L egrupopontualḠ; então
Ḡ ∙ S(L).
Prova. Seja M 2 Ḡ e v 2 L; por definição, M é a parte ortogonal de algum elemento
f 2 G: f = T x M para algum x 2 L; orafT v f −1 2 G mas
fT v f −1 =(T x M)T v (M −1 T −x )=T x (MT v M −1 )T −x = T x T Mv T −x = T Mv
logo Mv 2 L; comoistonãodependedox, concluímos a prova.
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