Tópicos de Geometria - CMUP

As classes de equivalência, [a], para esta relação dizem-se as órbitas da acção etemos
para cada a 2 X, [a] = Orb(a) = Ga = fga : g 2 Gg (O nome de órbita tem um
sentido dinâmico e vem precisamente dos exemplos de acções por grupos de isometrias
ou de homeomorfismos, em que a órbita de um ponto consiste das suas imagens pelas
isometrias, ou homeomorfismos, do grupo)
Dado x 2 X, definimos o subgrupo de isotropia (ou estabilizador)dex comooconjunto
dos elementos de G que fixam x na acção: Stab(x) =G x = fg 2 G : gx = xg
Exercício 71 Verifique que Stab(x) =G x édefactoumsubgrupodeG.
Exercício 72 Seja X um G-cjt, G finito. Mostre que para cada x 2 X, o número de
elementos da sua órbita é igual ao índice do seu estabilizador: jGxj =[G : G x ].
Exercício 73 Dê exemplo de um G-cjt X edex 2 X tal que Stab(x) não seja subgrupo
normal (sugestão: use D 4 )
Vamos estudar de seguida grupos de simetria e acções de grupo no espaço tridimensional,
mas antes precisamos, tal como para o plano, de ter uma classificação das isometrias.
6 Isometrias de R 3
Recorde-se, da secção 1, que uma isometria f 2 I(R 3 ) se pode escrever como produto
de,nomáximo,4reflexões R H em (hiper)planos H. Vamos começar por descrever sete
tiposdeisometriasdeR 3 e só depois provar que esses sete tipos esgotam de facto todas
as possibilidades:
1. Translações
2. Rotações: seja l uma recta orientada em R 3 ; R(l, α) designa a rotação de eixo l
e ângulo α, quefixa l e roda cada plano ortogonal a l e orientado com l de acordo
com a regra do saca-rolhas, em torno do ponto de intersecção de um ângulo α. É
claro que se l 0 designa a recta l com a orientação oposta, R(l, α) =R(l 0 , ¡α). No
caso de l ser o eixo dos zz, R(l, α) 2 SO(3) etemmatriz
2
4
cos α ¡ sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
3. Parafusos: são as compostas T a R(l, α) =R(l, α)T a em que a k l.
Exercício 74 Na definição de parafuso dada, a k l. Mostre que, em geral, a composição
T a R(l, α) é um parafuso, excepto se a ? l, caso em que é ainda uma rotação
R(m, α) com m k l.
29
3
5