Tópicos de Geometria - CMUP

9 Grupos Cristalográficos
Vimos, nas secções anteriores, a classificação dos subgrupos finitos de I(R 3 );entreos
subgrupos não finitos de I(R 3 ), os mais importantes são os que estão ligados à teoria
matemática dos cristais. Associado aos cristais, com uma estrutura atómica espacialmente
ordenada e regular, está o conceito de reticulado (ou malha; lattice em inglês).
Definição 132 Um reticulado L ½ R n é o conjunto das combinações lineares inteiras de
uma base fe i g i=1,...,n
de R n : L = f P n
i=1 r ie i : r i 2 Zg.
No plano, um reticulado aparece como o conjunto dos vértices de uma malha de
paralelogramos, daí o nome.
Considerando L como um subgrupo do grupo aditivo R n , L énaturalmenteisomorfo
ao grupo Z n dos pontos de coordenadas inteiras,e que é o reticulado correspondente à
base canónica. Como subgrupo do grupo aditivo R n , L é também naturalmente isomorfo
a um subgrupo de I(R n ) constituído por translações: T L = fT a : a 2 Lg; claroque
T = hT e1 ,T e2 , ..., T en i. Reciprocamente dado um subgrupo de translações, G T ∙ I(R n ),
gerado por n translações em direcções independentes, temos associado um reticulado
L = ff(0) : f 2 G T g e T L = G T .
Exercício 133 Mostre que qualquer recta por dois pontos de um reticulado L contém um
número infinito de pontos de L.
Dada um reticulado L as translações que o deixam invariante são precisamente as
de T L . L pode ser invariante por outras isometrias: mas no caso das rotações há uma
restrição quanto às ordens que elas podem ter (dita restrição cristalográfica, quetem
importância especial para as formas possíveis que os cristais podem assumir):
Teorema 134 (Restrição cristalográfica) Se L ½ R n é um reticulado com n =2ou
3 e ρ 2 S(L) éumarotaçãodeordemm, então
m =2, 3, 4 ou 6
Prova. Vejamos primeiro o caso n =2. É claro que qualquer rotação R(C, θ) 2 S(L)
tem ordem finita: porque dado um ponto q 2 L, q6= C, há apenas um número finito
de pontos de L àmesmadistânciadeC.Considere-se o conjunto M ½ R 2 dos centros de
todasasrotaçõesdeS(L); L ½ M porque L é invariante por todos os meios-giros com
centros nos seus pontos. M é um conjunto discreto: dada uma rotação ρ 2 S(L) de ordem
n com centro p 2 M ¡ L, sejaq um ponto de L a distância mínima de p; p éocentroide
da órbita de q pelaacçãodogrupocíclicohρi: é claro que no interior do polígono regular
de vértices v i = ρ i (q) , i =1, 2, ...n, não há pontos de L e, por isso, também não pode
haver outro centro de uma rotação de S(L). Recorde-se que a conjugação fρf −1 ,poruma
qualquer isometria f ,éaindaumarotaçãodeordemn ecentrof(p), e está em S(L)
se f é uma simetria de L; háportantoumnúmeroinfinito de rotações de ordem n em
S(L): seja p 1 6= p um centro de uma dessas rotações a distância mínima de p eseja
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