TÃ³picos de Geometria - CMUP

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4. Reflexões: R H , H um plano. 5. Reflexões deslizantes: são as compostas T a R H = R H T a ,emquea k H. Exercício 75 Na definição anterior, a k H. Mostre que, em geral, T a R H éuma reflexão deslizante, excepto se a ? H, casoemqueéumareflexão, R H 0. com H 0 k H. O que acontecerá no caso geral com R H T a ? 6. Reflexões rotativas: são as compostas R H R(l, α) =R(l, α)R H ,emquel ? H. Um caso particular importante é quando α = π; nesse caso, esta isometria também se chama Inversão no ponto a = l \ H, comnotaçãoI a : envia cada ponto b no ponto c tal que a é ponto médio do segmento bc. Quando a =0,entãoI a 2 O(3) e tem matriz diagonal com os elementos da diagonal todos iguais a ¡1. Ainversão em a é o produto das reflexões em três quaisquer planos mutuamente ortogonais cuja intersecção seja esse ponto. Exercício 76 Prove a última afirmação (pode talvez usar a fórmula para a reflexão num (hiper)plano, deduzida num exercício anterior) 6-a Uma Inversão Rotativa é a composta de uma rotação de eixo l edeuma inversão num ponto a 2 l. ClaroquetemosR(l, α)I a = I a R(l, α). Exercício 77 Mostrequetodaainversãorotativaéumareflexão rotativa (incluindo o caso particular das reflexões como reflexões rotativas de ângulo 0) evice -versa. Exercício 78 Na definição de reflexão rotativa exigimos que l ? H. Mostre que, em geral, desde que l 6½ H (seja ou não ortogonal), R H R(l, α) éaindaumareflexão rotativa. E R(l, α)R H ? E o que acontecerá no caso em que l ½ H ? Note-se que destas isometrias, as três primeiras são isometrias directas e as outras inversas. Teorema 79 Toda a isometria de R 3 édeumdosseistiposanteriores. Exercício 80 Prove o teorema anterior, analisando os vários casos de acordo com o número mínimo de reflexões em planos necessários para escrever as isometrias f 2 I(R 3 )(Sugestão: no caso de termos quatro reflexões, distinga dois casos: f ter ou não um ponto fixo; se f temumpontofixo então escreve-se como o produto de no máximo três reflexões, mas como estamos a supor que f é directa então será o produto de duas reflexões; se f não tem um ponto fixo, considere T a f comumpontofixo...) 30
Note-se que entre as isometrias directas descritas, apenas as rotações têm pontos fixos, que constituem o eixo, isto é, se uma isometria directa de R 3 temumpontofixo então tem uma recta fixa; este facto é frequentemente referido dizendo que "todaarotaçãotem um eixo". Exercício 81 Mostrequeoprodutodeduasinversõeséumatranslaçãoeque,reciprocamente, uma translação é o produto de duas inversões em que um dos pontos pode ser fixado arbitrariamente. Exercício 82 MostrequeoprodutodetrêsinversõeséumainversãoequeI A I B I C = I C I B I A = I D ,emque¤ABCD é um paralelogramo se A, B, C não são colineares. Exercício 83 Mostre que o produto de duas rotações, R(l, α),R(m, β) éumarotaçãoou translação (quando α + β =2π), uma rotação ou um parafuso conforme as rectas l e m são, respectivamente, paralelas, concorrentes ou enviesadas ("Skew"em inglês); mostre que, reciprocamente, uma translação, uma rotação ou um parafuso se podem obter como produto de duas rotações de ângulo π ( meios-giros) 6.1 Similitudes de R 3 O estudo das similitudes que fizemosnocasodeR 2 , adapta-se de imediato ao caso de dimensão 3 para dar uma classificação das similitudes de R 3 , a partir da classificação das isometrias que acabámos de fazer; recordemos que toda a similitude, f 2 Sim(R 3 ),se escreve como f = T a D(0,k)L, comL 2 O(3) ese0
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