Tópicos de Geometria - CMUP

Na prova do Teorema de Leonardo, em 5.1, vimos que todo o grupo finito de isometrias
tem um ponto fixo por todos as isometrias do grupo: a prova desse facto é geral e vale
também em R 3 ; mas, mais geralmente, no caso de grupos de rotações a existência desse
ponto não depende do grupo ser finito como os exercícios seguintes mostram:
Exercício 94 Mostre que se os eixos de três rotações α, β, γ não são concorrentes mas
intersectam-se dois a dois, então o produto γβα é um parafuso (Sugestão: recorde um
exercício anterior sobre o produto de duas rotações)
Exercício 95 Mostre, usando o último exercício, que num grupo de rotações todos os
eixos são concorrentes num ponto que é, por isso, fixo.
Teorema 96 Um grupo de rotações tem um ponto fixo;
Um grupo finito de isometrias tem um ponto fixo.
8.1 Prismas e anti-prismas
Podemos construir poliedros P ½ R 3 cujosgruposdesimetriaS(P ) são C n ou D n ,construindo
prismas ou anti-prismas sobre os polígonos regulares P n ½ R 2 £f0g, e adicionando,
por vezes, alguns elementos (telhados) num ou em ambos os topos. Um prisma obtém-se
simplesmente como P n £ [¡a, a]; temos portanto n faces laterais que são rectângulos. Um
anti-prisma obtém-se rodando um dos polígonos de um dos topos, P n £f¡ag ou P n £fag,
de um ângulo π/n, e considerando como faces laterais n triângulos (que podemos supor
equiláteros para uma escolha conveniente de a...): ver a figura seguinte em que estão
representados um prisma e um anti-prisma triangulares
Designamos ainda estes prismas e anti-prismas por P n e P 0 n, respectivamente.
Note-se que para n par, osprismasP n têm um ponto de simetria, O (a origem na
nossa descrição), isto é, são invariantes pela inversão I 0 , mas os anti-prismas P 0 n não; ao
contrário, para n ímpar, os anti-prismas P 0 n têm um ponto de simetria mas os prismas P n
não.
Considerando o prisma P n , é claro que o grupo diedral D n de rotações gerado pela
rotação ρ = R( Ã! z,2π/n) e pelo meio-giro σ = R( Ã! x,π) está contido em S(P) mas
estritamente; há ainda as n reflexões em planos que contêm o eixo dos zz, ρσ 0 ,ρ 2 σ 0 , ..., ρ n σ 0 ,
σ 0 = R H areflexão no plano y =0,eareflexão no plano z =0.
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