Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 106 Verifique a afirmação anterior e indique o isomorfismo inverso.
O mesmo raciocínio aplicado ao grupo de simetria de um sólido P com simetria central,
mostra que
S(P ) » = S d (P ) £f§1g
Portanto, para obter uma classificação dos grupos de simetria dos sólidos platónicos,
basta-nos agora estudar os dois grupos de rotações do cubo e do dodecaedro. Além disso,
tendo uma descrição de todas as rotações obtemos também todas as simetrias inversas
compondo essas rotações com uma mesma isometria inversa (qualquer uma serve, em
particular a inversão central)
Teorema 107 S d (C) » = S 4
Prova. A ideia é encontrar quatro objectos geométricos associados ao cubo que sejam
permutados pelas rotações. Escolhemos as quatro diagonais do cubo, que unem os quatro
pares de vértices simétricos em relação à origem: ver a figura seguinte
B
C
A
D
1
O
3
l
2
4
F
G
E
H
Numeramos as quatro diagonais com 1, 2, 3, 4 como indicado. É claro que como a inversão
I 0 comuta com todos os elementos de O(3), qualquer isometria envia um par de vértices
simétricos num par de vértices simétricos e portanto uma diagonal numa diagonal. Temos
assim, com a numeração que fixámos, definida uma aplicação α : S d (C) ¡! S 4 .Paraver
que α éumepimorfismo basta verificarquetodaatransposiçãoestánasuaimagem: basta
verificar para (1, 2), sendo os outros casos perfeitamente análogos. Considere-se o plano
que contém as diagonais 1 e 2 e que contém então as arestas AE e CG. Considere-se
nesse plano a recta l que une os pontos médios dessas arestas; o plano que contém as
outras duas diagonais 3 e 4 easarestasBF e DH é ortogonal a l; umarotaçãodeeixo
l e ângulo π claramente permuta as diagonais 1 e 2 e envia cada uma das outras em si
mesmalogoasuaimagemporα é (1, 2). Paraverificar que α éinjectivabastaverificar
que existem 24 rotações distintas de C, tantas quantos os elementos de S 4 ,porqueuma
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