Tópicos de Geometria - CMUP

temos
2π = ∆ + T 1 + T 3 + T2 0 = ∆ + T 1 + T 3 + T 2
∆ + T 1 = 2a
∆ + T 2 = 2b
∆ + T 3 = 2c
Calculando,
o que estabelece o resultado.
2∆ +2π =2a +2b +2c
Recordemos outro facto básico sobre rotações: o conjugado de uma rotação de ordem
n porumaisometriaéaindaumarotaçãodeordemn. Sejaρ = R(l, θ) e σ uma isometria.
Seja R(l, θ) =R H R J em que J, H são dois planos que se intersectam em l efazementre
si um ângulo θ/2.
σρσ −1 = σR H R J σ −1 = σR H σ −1 σR J σ −1 = R σ(H) R σ(J)
σ(H) \ σ(J) =σ(H \ J) =σ(l) e a ordem de um conjugado σρσ −1 é igual à ordem de ρ;
se σ, ρ 2 G ∙ I(R 3 ), σρσ −1 2 G e portanto temos o seguinte resultado:
Lema 121 Se G é um grupo de isometrias, σ, ρ 2 G em que ρ éumarotaçãodeordem
n eeixol, entãoG contém uma rotação de ordem n eeixoσ(l).
Seja G ∙ SO(3) finito. Vamos distinguir três casos:
1. G contém apenas a identidade e meios-giros.
2. Todas as rotações de G de ordem maior que 2 têm o mesmo eixo.
3. G contém rotações de ordem maior que 2 ecomeixosdistintos.
Caso 1. O produto de dois meios-giros R(m, π) e R(n, π) é um meio-giro sse os eixos
m e n são perpendiculares. Portanto se um grupo de rotações está neste caso ele tem
apenas 0, 1, ou3 meios-giros e será portanto C 1 , C 2 ou D 2 respectivamente.
Caso 2. Suponhamos agora que G tem rotações de ordem maior que 2, masquetêm
todas o mesmo eixo l. Como já sabemos, essas rotações formam um subgrupo de G que é
cíclico: C n = hρi. Pelo Lema anterior todas as rotações de G têm de manter l invariante;
portanto as únicas rotações possíveis com eixos diferentes de l são meios-giros com eixos
perpendiculares a l; sejaσ um desses meios-giros: para outro qualquer desses meios-giros,
α, temosqueασ 2 C n eportantoG é gerado por ρ e σ, istoéG » = D n .
Caso 3. Consideramos em S 2 os pólos dasváriasrotaçõesdeG: como G é finito,
entre as rotações de ordem maior que 2 e eixos distintos há dois pólos, digamos P e
Q, a distância mínima. Sejam α, β geradores das rotações de G com eixos Ã! 0P e Ã! 0Q,
respectivamente; seja p ¸ 3 aordemdeα e q ¸ 3 aordemdeβ. O produto βα éuma
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