Tópicos de Geometria - CMUP

Reciprocamente suponhamos que temos um grupo de rotações K ∙ SO(3) que contém
H como subgrupo de índice 2; sejamγ i , i =1, 2, ..., n as rotações de K ¡ H: K =
H [fγ 1 ,γ 2 , ..., γ n g;SejaG o conjunto que se obtém de K substituindo as n rotações
γ i pelassuascompostascomI 0 , β i = I 0 γ i : então G é um grupo, que contém H como
subgrupo de índice 2, e que não contém a inversão central I 0 .
Exercício 127 Prove as afirmações anteriores sobre o conjunto G.
Notação: Vamos designar o grupo G obtido de K, H pelo processo descrito por
KH.
Exercício 128 Mostre que K e KHsão isomorfos.
Em conclusão: mostrámos que se G é um subgrupo finito de O(3), comisometrias
inversas todas diferentes da inversão central, eseH é o seu subgrupo de rotações, então
G é igual a KHem que K é um subgrupo de SO(3) que contém H como subgrupo
de índice 2. Em face do último exercício, vemos que do ponto de vista algébrico (a menos
de isomorfismo) não há novos grupos neste caso, mas há descrições diferentes em termos
do tipo de isometrias que os constituem (só rotações ou rotações e isometrias inversas) o
que tem relevância quando os estudamos como grupos de simetria de certos sólidos.
Podemos agora completar a nossa análise, verificando quais os grupos de rotações
H quesãosubgruposdeíndice2 de grupos de rotações maiores; temos cinco casos:
H = C n ,D n ,T,O,I.
Os grupos de rotações de ordem 2n que contêm C n são C 2n e D n ;oúnicogrupode
ordem 4n que contém D n é D 2n ; quanto aos grupos T,O,I, não há grupos de rotações em
que metade dos seus elementos sejam os 60 elementos de I ou os 24 elementos de O, mas
T » = A 4 ∙ S 4
» = O.
Concluímos, assim, a classificação dos grupos finitosdeisometriasdeR 3 :
Teorema 129 (de Hessel) Seja G ∙ O(3) finito.
1. Se G ∙ SO(3) (G é um grupo de rotações), G é um dos grupos
C n , D n , T , O , I
2. Se G 6½ SO(3) (G contém isometrias inversas) temos dois casos:
(a) Se I 0 2 G (G contém a inversão central) G éumdosgrupos
C n £f§1g , D n £f§1g , T £f§1g , O£f§1g , I £f§1g
(b) Se I 0 /2 G, G é um dos grupos
C 2n C n , D n C n , D 2n D n , O T
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