Tópicos de Geometria - CMUP

8.5 Grupos finitosderotaçõesdeR 3
VimoscomoexemplosdegruposfinitosderotaçõesemR 3 , os grupos cíclicos C n ,osgrupos
diedrais D n eostrêsgruposderotaçõesdossólidosplatónicos,A 4 , S 4 e A 5 . Todos eles
são grupos de simetria. Na verdade estes exemplos esgotam todas as possibilidades, como
provaremos.
Exercício 118 Prove que os grupos de rotações dos sólidos platónicos não são cíclicos
nem diedrais.
Como já vimos, um grupo de rotações de R 3 temumpontoa que é fixo para todas as
suas rotações e, portanto, a menos de conjugação pela translação T a , podemos supor que
é um subgrupo de SO(3).
Seja então G ∙ SO(3); comojávimostodaarotaçãotemumeixoe,porisso,para
g 2 G existe um único par de pontos antípodas x, ¡x 2 S 2 ,ditosospólos de g, tal
que g(x) =x e g(¡x) =¡x (excepto se g = id em que todos os pontos são fixos):
fx, ¡xg = l\ S 2 em que l éoeixodeg; além disso toda a rotação fica completamente
determinada pela sua restrição à esfera unitária S 2 .
Vamos agora provar um facto básico da geometria da esfera que iremos usar.
Lema 119 (Triângulos Esféricos) Numa esfera, a soma dos ângulos de qualquer triângulo
é maior do que 180 o .
Na geometria esférica, consideramos como rectas os , que são as intersecções com a
esfera dos planos que passam pelo seu centro. Um triângulo esférico tem como lados
três arcos de círculos máximos. O Lema anterior é consequência imediata do seguinte
resultado sobre áreas:
Teorema 120 Seja ∆ ½ S 2 um triângulo com ângulos a, b, c. A área de ∆ éiguala
(a + b + c) ¡ π.
Prova. Sejam A, B, C os vértices de ∆ e l, m, n os círculos máximos que contêm os
seus lados, como se representa na figura seguinte.
Dois cìrculos máximos intersectam-se em pontos antípodas e definem quatro regiões na
esfera: gomos com vértices nesses pontos; considere-se o gomo entre m e n que contém
∆: sendo 4π =2£ 2π aáreadaesfera,aáreadogomoéproporcionalaoânguloa eé
portanto 2a; analogamente os gomos entre n e l eentrem e l que contêm ∆ têm áreas
iguais a 2b e 2c,respectivamente. Sejam T 1 , T 2 e T 3 os triângulos que em cada um destes
três gomos são o complementar de ∆.
Note-se que cada círculo máximo é invariante pela inversão central, I 0 ,ecadapar
de gomos verticalmente opostos definido por dois círculos máximos é permutado por I 0 .
Sejam T1, 0 T2 0 e T3 0 os triângulos que são centralmente simétricos a T 1 , T 2 e T 3 , respectivamente.
A outra figura representa a esfera com os três círculos máximos que definem ∆
(sombreado).
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