Tópicos de Geometria - CMUP

estes 12 ciclos correspondem portanto às rotações em torno de um eixo pelo centro das
faces e de ângulos ¨2π/5. Os outros 12 ciclos de comprimento 5 de A 5 queseobtêm
de (1, 2, 3, 4, 5) por permutações ímpares, correspondem às rotações com os mesmos eixos
pelos centros das faces e de ângulos §4π/5.
As rotações em torno dos eixos que passam pelos pares de vértices simétricos de ângulos
§2π/3 dão os 20 ciclos de comprimento 3 de A 5 .
Finalmente as rotações de π em torno dos eixos que passam pelos pontos médios dos
pares de arestas opostas dão os 15 elementos de ordem 2 de A 5 , que se escrevem como
produto de dois cíclos de comprimento 2 (como (1, 2()(3, 4) por exemplo).
Exercício 113 Verifique, no seu modelo numerado, os pormenores da prova anterior.
Podemos agora resumir os resultados encontrados:
Grupos de Simetria dos Sólidos Platónicos
P Rotações, S d (P ) Grupo total, S(P )
Tetraedro A 4 S 4
Cubo, Octaedro S 4 S 4 £f§1g
Dodecaedro, Icosaedro A 5 A 5 £f§1g
Exercício 114 Mostre que S 4 não é isomorfo a A 4 £f§1g.
8.4 Os sólidos Arquimedianos
O que acontecerá se enfraquecermos a definição de sólido platónico exigindo apenas que
as arestas e os vértices sejam idênticos, admitindo por isso que as faces sejam polígonos
regulares de vários tipos? Mostra-se que, para além dos cinco sólidos platónicos e certas
famílias infinitas de prismas e anti-prismas (um prisma e um anti-prisma para cada polígono
regular P n ), há precisamente 13 poliedros convexos com arestas e vértices idênticos:
são os chamados sólidos arquimedianos ou semi-regulares.
Uma notação conveniente para estes sólidos é a que descreve o tipo de vértice pela
indicação do número de arestas das várias faces em ordem cíclica em torno do vértice:
3.6 2 =3.6.6, 3.8 2 , 4.6 2 , (3.4) 2 =3.4.3.4, 4.6.8, 3.4 3 , 3 4 .4, 3.10 2 , (3.5) 2 , 5.6 2 , 4.6.10, 3.4.5.4,
3 4 .5.
Alguns destes sólidos aparecem como modificações simétricas dos sólidos platónicos;
por exemplo o octaedro truncado obtém-se do octaedro truncando cada vértice de tal
forma que cada um dos oito triângulos dê um hexágono regular: o sólido arquimediano
obtido é o 4.6 2 na notação anterior (figura seguinte)
Definição 115 A figura-de-vértice (ou figura-vértice) de um vértice v de um polígono é
o segmento de recta que une os pontos médios das duas arestas que contêm v. A figuravértice
de um vértice v de um poliedro é a união das figuras-vértices de cada uma das
faces que contêm v.
56