TÃ³picos de Geometria - CMUP

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Finalmente, pode-se verificar que os últimos grupos que obtivemos são também grupos de simetria de sólidos, o que deixamos como exercício. Exercício 130 Verifique que OT é simplesmente o grupo de simetria do tetraedro. Exercício 131 Construa prismas e anti-prismas (com telhados) cujos grupos de simetrias sejam C 2n C n , D n C n e D 2n D n . Note-se que do ponto de vista puramente algébrico, depois do estudo dos grupos finitos de rotações, a consideração de grupos finitos de isometrias contendo também isometrias inversas apenas acrescentou àquela lista de rotações os seus produtos directos com f§1g. Portanto, um grupo finito de isometrias de R 3 é isomorfo a um grupo cíclico, diedral, o produto de um destes com f§1g, ouaogrupodesimetriasdeumsólidoplatónico. 8.7 Exercícios de revisão e aplicação... 1. Excluindo o tetraedro, descreva as simetrias de uma pirâmide com o polígono regular de n lados, P n , como base. Excluindo o octaedro, descreva também as simetrias da correspondente bipirâmide. 2. Descreva as simetrias do prisma P n ,excluindoocubo(n =4); descreva também as simetrias do anti-prisma P 0 n, excluindo o caso do octaedro. 3. Descreva as simetrias do octaedro truncado. 4. Prove ou negue a seguinte afirmação: uma reflexão rotativa que não é uma inversão tem ordem infinita. 5. Mostre que o produto de dois meios-giros R(m, π) e R(n, π) éummeio-girosse os eixos m e n são perpendiculares. 6. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas: (a) Um grupo finito de isometrias directas de R 3 é isomorfo a um dos grupos C n , D n , T , O ou I. (b) Os grupos O e I sãoosúnicosgruposderotaçõesG tais que G não é subgrupo deumgrupoderotaçõescujaordeméodobrodadeG. (c) Se R x ,R y ,R z designam os meios-giros em torno do eixo dos xx do eixo dos yy edoeixodoszz, respectivamente, então R y R x = R z . (d) Se a figura X está contida na figura Y ,entãoogrupodesimetriadeX éum subgrupo do grupo de simetria de Y : S(X) ∙ S(Y ). (e) Se um grupo G de isometrias de R 3 contém apenas a identidade e rotações, então G é um grupo cíclico. (f) Os grupos C 2n C n ,D n C n e D 2n D n têm ordem 2n. 66
(g) Todo o subgrupo do grupo I de rotações do icosaedro é o próprio I ou então um grupo C n ou D n . (h) O grupo C 2 C 1 contém a identidade e uma reflexão; o grupo C 1 contém a identidade e uma inversão. (i) Existe um único ponto que é fixo pelos elementos de um grupo finito de rotações. (j) Rotações distintas α, β e αβ podem ter eixos concorrentes e coplanares 7. Dê exemplo de um grupo de rotações infinito. 8. Determine o grupo de simetria do cuboctaedro. 9. Determine os grupos formados pelas simetrias que descreveu nos exercícios 1.,2. e 3. 10. Para cada um dos sólidos platónicos, descreva o poliedro convexo determinado pela união das figuras-vértice de todos os seus vértices. 11. Vimos que todo o grupo finito de isometrias de R 3 é um grupo de simetrias; será também verdade que todo o grupo de isometrias é um grupo de simetrias? E todo o grupo de rotações? 12. Considere os sólidos convexos cujas faces são triângulos isósceles congruentes; quantos desses sólidos há? Quais os seus grupos de simetria? 67
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Tópicos de Geometria 2003/2004 Edu
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1 Isometrias e simetrias - generali
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Exercício 12 Seja f ˙ : R m ¡! R
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Se H éumhiperplanodeR n e a 2 H, e
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1. Reflexões em rectas: f = R l .
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No caso de R n , o exemplo mais út
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