Tópicos de Geometria - CMUP

α. Por semelhança de triângulos, CA 0 /CA = CB 0 /CB, logo existe um esticão de centro
C (commeio-gironasituaçãodaesquerdadafigura), δ = D(C, §k), queenviaA em A 0
e B em B 0 .
A
A
B'
A'
B
C
A'
De novo pela unicidade, α = δ. Acabámos, assim, de provar a seguinte classificação de
Dil(R 2 )
Teorema 44 Uma dilatação é uma translação ou um esticão (simples ou com meio-giro).
Podemos agora passar à segunda prova, estabelecendo primeiro o seguinte lema:
Lema 45 Consideremos a recta pelos pontos A e B, comumaorientaçãofixada, ¡! AB.
Definimos, para um segmento de recta arbitrário, XY ,adistância dirigida XY por XY
= §kY ¡ Xk conformeaorientaçãodosegmento ¡¡! XY coincide ou não com a orientação
fixada; é claro que XY = ¡YX eparatodoopontoC, AC/CB é independente da
orientação fixada.
Se y 6= ¡1 existe um único ponto P 6= B na recta, tal que AP /P B = y; reciprocamente
para todo P 6= B, AP /P B 6= ¡1 e AP /P B > 0 se e só se P está entre A e B.
Exercício 46 Prove o lema anterior ( sugestão: existe uma correspondência natural entre
os pontos da recta Ã! AB e R dada pela parametrização A + x(B ¡ A) =(1¡ x)A + xB)
2 a prova do teorema:
Seja α 2 S(R 2 ) ¡ I(R 2 ); Sem perda de generalidade (spg) α não é uma dilatação, logo
existe uma recta l tal que l ∦ α(l) =l 0 . Sejam A = l \ l 0 e A 0 = α(A); spg A 6= A 0 ;seja
m umarectaporA 0 paralela a l e m 0 = α(m). Entãom 0 k l 0 porque uma similitude (ou
mais geralmente uma aplicação afim injectiva) envia rectas paralelas em rectas paralelas.
Sejam B = m \ m 0 e B 0 = α(B); spg B 6= B 0 . Com referência à figura seguinte
spg Ã! AB ∦ á! A 0 B 0 , caso contrário AA 0 B 0 B seria um paralelogramo e portanto A 0 B 0 = AB
e α seria uma isometria. Logo existe um ponto P na intersecção das duas rectas. Por
semelhança de triângulos, AP/P B = A 0 P/PB 0 ; por outro lado, se α tem razão k e
P 0 = α(P ), AP/P B = kAP/kPB = A 0 P 0 /P 0 B 0 ; logo A 0 P/PB 0 = A 0 P 0 /P 0 B 0 ; como
P, P 0 = α(P ) 2 á! A 0 B 0 , passando a distâncias dirigidas em á! A 0 B 0 ,efixando uma qualquer
orientação já que estamos a considerar os quocientes, temos que A 0 P /P B 0 = A 0 P 0 /P 0 B 0
logo, pela unicidade estabelecida no lema, P 0 = P ¥
B
B'
C
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