Tópicos de Geometria - CMUP

Nota: Sabe-se hoje que os únicos R n em que existe tal produto são os casos n =1(os
reais), n =2(os complexos), n =4(os quaterniões, que definimos já a seguir) e ainda
n = 8 (os octoniões ou números de Cayley - do seu inventor, Arthur Cayley) (Uma
diferença fundamental entre os quaterniões e os octoniões é que o produto dos primeiros
éassociativoeodossegundosnão...)
Considere-se então
R 4 = R £ R 3 = © (α, a) :α 2 R ,a2 R 3ª = H , hH, +, ¢i
com a soma usual, (α, a) +(β,b) =(α + β,a + b) e o produto, que indicaremos apenas
por justaposição, definido por
(α, a)(β,b) =(αβ ¡ a ¢ b, αb+ βa + a £ b)
em que a ¢ b representa o produto interno dos vectores e a £ b o produto externo.
Notação: seq 2 H, q =(α, a), dizemosqueα éaparte real (ou temporal), α = R(q)
equea éaparte imaginária (ou espacial), a = I(q). Assim
R ´ f(α, 0) : α 2 Rg = R
R 3 ´ ©(0,a):α
2 R 3ª = I
ou seja, identificamos o espaço tridimensional aos quaterniões imaginários puros, I.
Outra forma, mais usual, de introduzir os quaterniões é a seguinte: designando por
f1,i,j,kg a base canónica de R 4 ´ R £ R 3 ,como espaço vectorial real, e escrevendo q =
(α, a) =t +(xi + yj + zk),q 0 =(α 0 ,a 0 )=t 0 +(x 0 i + y 0 j + z 0 k) 2 H, definimos a soma da
forma usual
q + q 0 =(t + t 0 )+(x + x 0 )i +(y + y 0 )j +(z + z 0 )k
e o produto de forma a ser bilinear com R central (isto é, os reais comutando com todos
os elementos)
qq 0 = ¢¢¢escreva!
Assim o produto fica determinado indicando simplesmente os vários produtos
i 2 ,j 2 ,k 2 , ij, ji, ik, ki, jk, kj
Exercício 85 Mostre que estabelecendo a relação fundamental para o produto
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = ¡1
se obtem uma definição equivalente à anterior. Sugestão: comece por mostrar que se tem
ij = ¡ji = k, jk= ¡kj = i, ki= ¡ik = j
Terá sido aquela relação fundamental que Hamilton gravou, no momento com a excitação
da descoberta, numa pedra: ver a citação de Hamilton no começo do capítulo 9 de
[3].
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