TÃ³picos de Geometria - CMUP

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estes 12 ciclos correspondem portanto às rotações em torno de um eixo pelo centro das faces e de ângulos ¨2π/5. Os outros 12 ciclos de comprimento 5 de A 5 queseobtêm de (1, 2, 3, 4, 5) por permutações ímpares, correspondem às rotações com os mesmos eixos pelos centros das faces e de ângulos §4π/5. As rotações em torno dos eixos que passam pelos pares de vértices simétricos de ângulos §2π/3 dão os 20 ciclos de comprimento 3 de A 5 . Finalmente as rotações de π em torno dos eixos que passam pelos pontos médios dos pares de arestas opostas dão os 15 elementos de ordem 2 de A 5 , que se escrevem como produto de dois cíclos de comprimento 2 (como (1, 2()(3, 4) por exemplo). Exercício 113 Verifique, no seu modelo numerado, os pormenores da prova anterior. Podemos agora resumir os resultados encontrados: Grupos de Simetria dos Sólidos Platónicos P Rotações, S d (P ) Grupo total, S(P ) Tetraedro A 4 S 4 Cubo, Octaedro S 4 S 4 £f§1g Dodecaedro, Icosaedro A 5 A 5 £f§1g Exercício 114 Mostre que S 4 não é isomorfo a A 4 £f§1g. 8.4 Os sólidos Arquimedianos O que acontecerá se enfraquecermos a definição de sólido platónico exigindo apenas que as arestas e os vértices sejam idênticos, admitindo por isso que as faces sejam polígonos regulares de vários tipos? Mostra-se que, para além dos cinco sólidos platónicos e certas famílias infinitas de prismas e anti-prismas (um prisma e um anti-prisma para cada polígono regular P n ), há precisamente 13 poliedros convexos com arestas e vértices idênticos: são os chamados sólidos arquimedianos ou semi-regulares. Uma notação conveniente para estes sólidos é a que descreve o tipo de vértice pela indicação do número de arestas das várias faces em ordem cíclica em torno do vértice: 3.6 2 =3.6.6, 3.8 2 , 4.6 2 , (3.4) 2 =3.4.3.4, 4.6.8, 3.4 3 , 3 4 .4, 3.10 2 , (3.5) 2 , 5.6 2 , 4.6.10, 3.4.5.4, 3 4 .5. Alguns destes sólidos aparecem como modificações simétricas dos sólidos platónicos; por exemplo o octaedro truncado obtém-se do octaedro truncando cada vértice de tal forma que cada um dos oito triângulos dê um hexágono regular: o sólido arquimediano obtido é o 4.6 2 na notação anterior (figura seguinte) Definição 115 A figura-de-vértice (ou figura-vértice) de um vértice v de um polígono é o segmento de recta que une os pontos médios das duas arestas que contêm v. A figuravértice de um vértice v de um poliedro é a união das figuras-vértices de cada uma das faces que contêm v. 56
A figura-vértice de cada vértice de um cubo é um triângulo equilátero; O poliedro cujas arestas são a união das oito figuras-vértices do cubo é chamado um cuboctaedro, o sólido arquimediano (3.4) 2 (figura seguinte) Note-se que neste sólido as arestas são todas equivalentes no sentido de terem os mesmos polígonos como faces adjacentes, neste caso um triângulo e um quadrado; o que nãoacontececomooctaedrotruncadoem que há faces que unem um hexágono e um quadrado e outras que unem dois hexágonos. Exercício 116 Faça outras construções com sólidos platónicos de forma a obter outros sólidos arquimedianos. Exercício 117 Mostre que os sólidos arquimedianos são de facto os 13 que listámos em cima; construa modelos para cada um deles. 57
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Tópicos de Geometria 2003/2004 Edu
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1 Isometrias e simetrias - generali
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