Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 12 Seja f ˙ : R m ¡! R n uma imersão isométrica.( Não supomos que é linear!).
Mostre que existem a 2 R m e uma aplicação linear L : R m ¡! R n tais que f(x) =
Lx + a, 8x 2 R m .Emparticular,sef(0) = 0, entãof é linear (!); se m = n então f é
uma isometria e é a composta de uma aplicação ortogonal seguida de uma translação.
Sugestão: Comece por supor que f(0) = 0 ; a) mostre que, sendo fa 1 ,a 2 , ..., a m g abase
canónica, e b i = f(a i ) , i =1, ...m , fb i g i=1,...m
é um conjunto ortonormado: hb i ,b j i =
½ 1 , se i = j
δ ij =
, 8i, j =1, ...m; b) mostre, seguidamente, que f fica completamente
0 , se i 6= j
determinada pelas imagens b i = f(a i ) , i =1, ...m ,isto é, se g(a i )=f(a i )=b i , 8i ,
então f = g .(Componha f com uma aplicação ortogonal L 2 O(n) tal que Lf(a i )=a i .)
Recordemos que são equivalentes:
a) fa 1 ¡ a 0 ,a 2 ¡ a 0 , ..., a k ¡ a 0 g são linearmente independentes.
b) fa 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a k g são independentes afim, istoé, P k
i=0 λ ia i =0,com P k
i=0 λ i =0sse
λ 0 = λ 1 = ¢¢¢= λ k =0
Exercício 13 Sejam X ½ R m não-vazio e f : X ¡! R n uma imersão isométrica. Mostre
que existe uma imersão isométrica (única quando X gera R m ) ϕ : R m ¡! R n tal que
ϕ j X = f.
Sugestão: Comece por provar, usando também o exercício anterior, que uma imersão
isométrica f ˙ : R m ¡! R n fica completamente determinada pelas imagens de m+1 pontos
independentes afim.
Provámos assim os seguintes teoremas:
Teorema 14 Se ˙ f : R n ¡! R n é uma imersão isométrica então f 2 I(R n ) e escreve-se,
de modo único, como a composta f = T a L,comL 2 O(n).
Definição 15 Se na decomposição do teorema anterior, f = T a L,temosqueL 2 SO(n)
dizemos que f éumaisometriadirecta (ou: que preserva a orientação); caso contrário
dizemos que é inversa (ou que inverte a orientação).
Teorema 16 Toda imersão isométrica ˙ f : R m ¡! R n fica completamente determinada
pelasimagensdem +1 pontos independentes . Em particular, tomando m = n e f = id,
em R n qualquer ponto fica determinado pelas suas distâncias a n+1 pontos independentes.
Teorema 17 Se fa 0 ,a 1 ,a 2 , ..., a n g e fb 0 ,b 1 ,b 2 , ..., b n g são dois conjuntos de n +1 pontos
independentes de R n ,comd(a i ,a j )=d(b i ,b j ) para 0 ∙ i, j ∙ n, existe f 2 I(R n ), única,
tal que fa i = b i para 0 ∙ i ∙ n.
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