Tópicos de Geometria - CMUP

Q 2
P 2
R 2
R 1
Q 1
Q=Q 0
P
R
Q p-1
P 1
As imagens de R são os pontos médios das arestas desse polígono: a imagem do plano
H , e em particular de Q, pela rotação α −1 = R J R H é R J R H (H) =R J (H) ou seja, é
dada pela reflexão no plano J; comooplanoL é perpendicular a J (porque, como vimos,
r =2) ele é enviado em si mesmo por R J : R éportantoopontomédiodaarestaQQ p−1 .
Em qualquer dos cinco casos, a existência dos sólidos platónicos inscritos na esfera, e
a estrutura dos seus grupos de rotação, implica que as rotações em torno de Ã! 0Q enviam
aquele p-polígono em q polígonos com vértice Q econtinuandoarodaremtornodeoutros
vértices destes polígonos obtemos uma pavimentação da esfera por p-polígonos, cujos
vértices são os do correspondente sólido platónico inscrito (os centros, sucessivas imagens
de P , são os vértices do sólido dual); pela escolha de P e Q à distância mínima, estes
vértices e centros são todos os pólos de rotações de G de ordem maior ou igual a três; os
pontos médios das arestas, sucessivas imagens de R, são pólos de rotações de ordem dois
(meios-giros): temos assim todas as rotações do sólido platónico construído.
Vejamos agora que G não contém de facto mais nenhuma rotação : se contivesse seria
um meio-giro γ cujo pólo, digamos S, estaria ou no interior de uma das arestas, mas
diferente do ponto médio (um dos derivados de R) ou no interior de um dos polígonos,
mas diferente do centro. Seja Q o vértice mais perto de S e P ocentrodopolígono:
usando a notação anterior para α e β relativamente a P e Q, teríamosqueγβ seria uma
rotação de ordem q com o pólo γ(Q) mais perto de P do que Q, o que contraria a escolha
de P e Q a distância mínima, excepto se acontecesse γ(Q) =P ,casoemqueS seria
opontomédiodePQ; mas neste caso teríamos que βγ(P )=Q ecomonenhumadas
rotações de ordem maior do que dois envia P em Q, βγ seria um meio-giro e portanto
βγ = γ logo β = id o que é absurdo.
Provámos assim o seguinte teorema:
Teorema 122 Seja G um grupo finito de rotações de R 3 .EntãoG é cíclico, diedral, ou
um grupo de rotações de um sólido platónico.‘
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