Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 124 Construa prismas ou anti-prismas (com ou sem telhados) que tenham
grupos de simetria C i ,i=1, 2,... e D i ,i=2, 3, ...(Sugestão: recorde que os prismas P n
eanti-prismasP 0 n têm simetria central quando n é par ou ímpar, respectivamente...)
Nota: Para construir sólidos com grupos de rotações C n e D n , bastar-nos-ia considerar
prismas com telhados adicionados; a razão para considerar também anti-prismas prendese
com a sugestão dada no exercício anterior.
Os grupos O e I são, como vimos anteriormente, os grupos de simetria do octaedro
e icosaedro, respectivamente; o mesmo não acontece com T que não é isomorfo a S 4 ,o
grupo de simetria do tetraedro: no entanto,S podemos construir um sólido com grupo de
simetria T , considerando um cubo com um padrão adicionado às faces, como se representa
na figuraseguinte(equepodeserrealizadoatravésdaadiçãodetelhadoscomcumieiras
segundo as direcções desenhadas)
Exercício 125 Prove que o objecto representado na figura anterior tem de facto grupo
de simetria T » = A 4 £f§1g.
Consideramos agora o segundo caso: de G ser um subgrupo finito de O(3) com isometrias
inversas mas sem inversão central.
Sejam H = G \ SO(3) = fα 1 ,α 2 , ..., α n g e G ¡ H = fβ 1 ,β 2 , ..., β n g em que nenhuma
das isometrias inversas β i é a inversão central I 0 . Sejam γ i = I 0 β i , i =1, 2, ..., n e
K = H [fγ 1 ,γ 2 , ..., γ n g: isto é, substituimos em G todas as isometrias inversas pelas suas
compostas com a inversão central, obtendo assim n rotações distintas; se α j = γ i = I 0 β i ,
seria α j β −1
i = I 0 o que contraria a nossa hipótese: temos assim que K éumconjuntode
2n rotações. Acontece que K éumgrupo:
Exercício 126 Mostre que de facto K ∙ SO(3).
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