Tópicos de Geometria - CMUP

1 Isometrias e simetrias - generalidades
O nosso tema central são as isometrias e simetrias em espaços euclidianos, em especial no
plano e no espaço (tridimensional). Recordemos as definições mais gerais, envolvidas.
Definição 1 Uma isometria do espaço métrico (X, d) é uma função
f : X ¡! X que é sobrejectiva equeéumaimersão isométrica, istoé,preservaas
distâncias: 8x, y 2 X,d(f(x),f(y)) = d(x, y).
Exercício 2 Recorde a definição de espaço métrico. Mostre que uma função que preserva
a distância, como na definição anterior (uma imersão isométrica) é sempre injectiva mas
pode não ser sobrejectiva.
Definição 3 Consideramos em R n a métrica euclidiana dada, para x =(x 1 ,...,x n ),y =
(y 1 , ..., y n ) 2 R n ,pord(x, y) =kx ¡ yk, emquekk é a norma euclidiana: kxk 2 = hx, xi =
P n
i=1 x2 i ,emquehx, yi = P n
i=1 x iy i é o produto escalar usual.
Exercício 4 Recorde e escreva uma prova de que a métrica acabada de definir em R n ,
d(x, y) = p P n
i=1 (x i ¡ y i ) 2 ,é de facto uma métrica; recorde também, a propósito, a desigualdade
de Cauchy-Schwarz: jhx, yij ∙ kxkkyk; recorde ainda a regra do paralelogramo:
kx + yk 2 + kx ¡ yk 2 =2kxk 2 +2kyk 2
Dado um espaço métrico, M, assuasisometrias,Isom(M) (ou simplesmente I(M))
formam um grupo para a composição de funções, que é um subgrupo do grupo de todas
as bijecções , Bij(M).
Temos a seguinte cadeia de subgrupos:
Isom(M) ∙ Sim(M) ∙ Homeo(M) ∙ Bij(M)
em que Sim(M) e Homeo(M) são os grupos das similitudes edoshomeomorfismos, respectivamente.
Exercício 5 Recorde as definições de similitude e homeomorfismo.
Doistiposparticularesdeisometriassãoastranslações easaplicações ortogonais.
Definição 6 A translação pelo vector a édefinida por T a (x) =x + a ; em particular a
identidade é translação pelo vector nulo, id = 1 =T 0 ; é claro que a inversa é a translação
pelo vector ¡a , Ta −1 = T −a ,equeT a T b = T a+b .
Notação 7 Indicaremos frequentemente apenas por justaposição acomposiçãodefunções
, fg = f ± g, e também, desde que o contexto não permita confusões, as imagens de
elementos, f(x) =fx.
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