Tópicos de Geometria - CMUP

Calculando, temos
v =
4n
2n +2r ¡ nr
a = rv 2
f = rv n
(n ¡ 2)(r ¡ 2) < 4
As três primeiras equações dizem que v, a, f são únicamente determinados por n e r,
isto é, um dado par (n, r) determina, no máximo, um sólido platónico. Como n, r >
2, a desigualdade resolve-se facilmente e vê-se que há exactamente 5 soluções que são
precisamente os pares que aparecem nas duas primeiras colunas da tabela em cima; pode
verificar-se nessa tabela os correspondentes valores de v, a e f. Concluímos assim que
há no máximo aqueles 5 sólidos platónicos; como cada um deles pode ser efectivamente
construído, temos a conclusão.
Exercício 99 Mostre que a desigualdade anterior tem de facto aquelas 5 soluções.
8.2.2 Dualidade e inclusão
Uma consulta à tabela, em cima, torna patente uma dualidade do número de vértices,
arestas e faces para os dois pares cubo-octaedro e dodecaedro-icosaedro: em cada par, os
dois sólidos têm o mesmo número de arestas e o número de vértices de cada um deles é
igual ao número de faces do outro.
Há também dualidade para os mesmos dois pares dos números n e r que aparecem
trocados: em consequência, se num destes sólidos considerarmos os centros de todas as
faces e considerarmos o sólido que tem como faces os polígonos cujos vértices são os centros
de todas as faces incidentes num mesmo vértice, obtemos precisamente o sólido dual,
como as figuras seguintes ilustram no caso do par cubo-octaedro:
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