Tópicos de Geometria - CMUP

Exercício 62 Seja l ½ R 2 uma recta; Mostre que S(l) ∙ I(R 2 ) contém um subgrupo
normal com dois elementos cujo quociente é isomorfo a I(l) ' I(R). Conclua que S(l)
não é isomorfo a I(l) ' I(R)
Exercício 63 Seja X = f(x, 0) : x 2 Rg[f(0,y):kyk ∙ 1g. MostrequeS(X) éisomorfo
ao grupo de Klein, S(X) ' Z 2 © Z 2 , descrevendo, em particular, os três elementos não
nulos.
5.1 Polígonos regulares
Um exemplo natural a analisar é o dos polígonos regulares: seja P n ½ R 2 um polígono
regular com n lados; spg podemos supôr que o centroide de P n (o centro do círculo
circunscrito) é a origem das coordenadas e que um dos vértices está no semi-eixo positivo
dos xx (ver figuras seguintes)
Exercício 64 Expliqueosentidoprecisodaafirmação anterior, mostrando que S(P n ) é
conjugado a S(P 0 n), emqueP 0 n é um polígono de n lados na posição particular descrita.
A primeira observação é que P n é claramente invariante por ρ = R(0, 2π/n) epor
σ = R x (reflexão no eixo dos xx), isto é, ρ, σ 2 S(P n ). Note-se que ρ n = σ 2 =1;éclaro
que, em S(P n ),temosn rotações distintas, fρ, ρ 2 , ..., ρ n g = hρi etambémn simetrias
inversas distintas, ρσ, ρ 2 σ, ..., ρ n σ: temos assim, pelo menos, 2n simetrias distintas de P n .
8
6
4
B
2
10 5 5 10
A
2
4
6
8
Por outro lado, se escolhermos uma das arestas de P n , digamos AB, umasimetria
s 2 S(P n ) fica completamente determinada pela imagem de AB, que será também uma
aresta de P n ;temosn escolhaspossíveisparaaimagemdovérticeA e, para cada uma
dessas, duas escolhas possíveis entre os vértices adjacentes a s(A), para a imagem de B.
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