TÃ³picos de Geometria - CMUP

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poliedro convexo (uma desigualdade linear define os pontos de R n que estão num dos lados do hiperplano definido pela igualdade correspondente); a união de um número finito de poliedros convexos diz-se simplesmente um poliedro. Em R 3 um plano divide-o em dois semi-espaços cuja intersecção é esse plano; um poliedro convexo, P , é assim a intersecção de um número finito de semi-espaços; a intersecção de P com cada um dos planos que o delimitam é um polígono convexo que se diz uma face de P ; a intersecção de duas faces é uma aresta e a intersecção de duas arestas éumvértice. Um poliedro diz-se regular se todas as faces, arestas e vértices são idênticos entre si: para as faces e arestas isso significa congruentes; para os vértices significa que em cada vértice há o mesmo número r de arestas e que fazem entre si os mesmos ângulos ; em consequência, as faces são polígonos regulares P n para algum n fixo. Os sólidos platónicos são os poliedros regulares convexos de R 3 . Como já era conhecido na antiguidade grega, há precisamente 5 sólidos platónicos (a menos de semelhança): n r V értices Arestas Faces Tetraedro 3 3 4 6 4 Cubo 4 3 8 12 6 Octaedro 3 4 6 12 8 Dodecaedro 5 3 20 30 12 Icosaedro 3 5 12 30 20 Exercício 97 Construa modelos de cartão para cada um dos 5 sólidos platónicos; vão ser úteis na análise dos seus grupos de simetria, em especial para o dodecaedro. As figuras seguintes representam os cinco sólidos: 44
8.2.1 A Fórmula de Euler: Recorde-se que se P é um poliedro convexo com v vértices, a aresta e f faces, se verifica a fórmula de Euler v ¡ a + f =2 Chama-se caracteristica de Euler de um poliedro ao número v ¡ a + f que designamos por χ(P ). Assim, dizemos que para um poliedro convexo, P ,temosχ(P )=2. Há muitas provas desta fórmula; uma "prova"de tipo heurístico, muito interessante ecurta,e,achoeu,convincente,édadanocomeçodocapítulo17de[4],emtermosde diques e inundações. O que interessa salientar é que este resultado tem formulações mais gerais; em particular não é relevante que o poliedro seja convexo, mas apenas que o seu bordo seja homeo- 45
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