TÃ³picos de Geometria - CMUP

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9 Grupos Cristalográficos Vimos, nas secções anteriores, a classificação dos subgrupos finitos de I(R 3 );entreos subgrupos não finitos de I(R 3 ), os mais importantes são os que estão ligados à teoria matemática dos cristais. Associado aos cristais, com uma estrutura atómica espacialmente ordenada e regular, está o conceito de reticulado (ou malha; lattice em inglês). Definição 132 Um reticulado L ½ R n é o conjunto das combinações lineares inteiras de uma base fe i g i=1,...,n de R n : L = f P n i=1 r ie i : r i 2 Zg. No plano, um reticulado aparece como o conjunto dos vértices de uma malha de paralelogramos, daí o nome. Considerando L como um subgrupo do grupo aditivo R n , L énaturalmenteisomorfo ao grupo Z n dos pontos de coordenadas inteiras,e que é o reticulado correspondente à base canónica. Como subgrupo do grupo aditivo R n , L é também naturalmente isomorfo a um subgrupo de I(R n ) constituído por translações: T L = fT a : a 2 Lg; claroque T = hT e1 ,T e2 , ..., T en i. Reciprocamente dado um subgrupo de translações, G T ∙ I(R n ), gerado por n translações em direcções independentes, temos associado um reticulado L = ff(0) : f 2 G T g e T L = G T . Exercício 133 Mostre que qualquer recta por dois pontos de um reticulado L contém um número infinito de pontos de L. Dada um reticulado L as translações que o deixam invariante são precisamente as de T L . L pode ser invariante por outras isometrias: mas no caso das rotações há uma restrição quanto às ordens que elas podem ter (dita restrição cristalográfica, quetem importância especial para as formas possíveis que os cristais podem assumir): Teorema 134 (Restrição cristalográfica) Se L ½ R n é um reticulado com n =2ou 3 e ρ 2 S(L) éumarotaçãodeordemm, então m =2, 3, 4 ou 6 Prova. Vejamos primeiro o caso n =2. É claro que qualquer rotação R(C, θ) 2 S(L) tem ordem finita: porque dado um ponto q 2 L, q6= C, há apenas um número finito de pontos de L àmesmadistânciadeC.Considere-se o conjunto M ½ R 2 dos centros de todasasrotaçõesdeS(L); L ½ M porque L é invariante por todos os meios-giros com centros nos seus pontos. M é um conjunto discreto: dada uma rotação ρ 2 S(L) de ordem n com centro p 2 M ¡ L, sejaq um ponto de L a distância mínima de p; p éocentroide da órbita de q pelaacçãodogrupocíclicohρi: é claro que no interior do polígono regular de vértices v i = ρ i (q) , i =1, 2, ...n, não há pontos de L e, por isso, também não pode haver outro centro de uma rotação de S(L). Recorde-se que a conjugação fρf −1 ,poruma qualquer isometria f ,éaindaumarotaçãodeordemn ecentrof(p), e está em S(L) se f é uma simetria de L; háportantoumnúmeroinfinito de rotações de ordem n em S(L): seja p 1 6= p um centro de uma dessas rotações a distância mínima de p eseja 68
p 2 = R(p 1 , 2π/n)(p) outro desses centros (ver as figuras seguintes) p p 1 p p 1 a p 3 b p 2 p 2 b Ora d(p 2 ,p) = 2sin(π/n)d(p, p 1 ) eportantoseriad(p 2 ,p) < d(p, p 1 ) se fosse n > 6; considerando agora p 3 = R(p 2 , 2π/n)(p 1 ) verifica-se que se n =5(figura da direita, com b =2π/5) seriad(p 3 ,p)
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Tópicos de Geometria 2003/2004 Edu
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1 Isometrias e simetrias - generali
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Exercício 12 Seja f ˙ : R m ¡! R
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Se H éumhiperplanodeR n e a 2 H, e
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