Tópicos de Geometria - CMUP

Teorema 53 Todaatransformaçãoafim sepodeescrevercomooprodutodeumshear,
S x ,umstrain, T x ,eumasimilitude directa.
Prova.
A =
2
4 a 11 a 12 b 1
a 21 a 22 b 2
0 0 1
com j = (a 11a 12 + a 21 a 22 )
(a 2 11 + a 2 21)
3
5 =
2
4 a 11 ¡a 21 b 1
a 21 a 11 b 2
0 0 1
3 2
5
4 1 0 0
0 k 0
0 0 1
3 2
5
4 1 j 0
0 1 0
0 0 1
, k = (a 11a 22 ¡ a 12 a 21 )
,nãonulosporque jAj 6= 0
(a 2 11 + a 2 21)
3
5
Exercício 54 Verifique a prova anterior.
Exercício 55 Mostrequeumumshear,S x ,sepodeescrevercomoumprodutodesimilitudes
e strains.
Pelo último exercício e pelo teorema anterior temos
Teorema 56 Todaatransformaçãoafim se pode escrever como um produto de strains e
similitudes
(Na verdade vale um resultado mais geral: o produto de um strain e uma similitude)
Exercício 57 Consegue provar a versão mais geral do teorema?
Por outro lado uma similitude é o produto de uma isometria e de uma homotetia
(de centro 0); uma isometria é um produto de (não mais do que três...) reflexões, que
são strains, e uma homotetia é o produto de Ddois strains. Temos, assim, a seguinte
caracterização das transformações afim:
Teorema 58 Uma transformação afim éumprodutodestrains.
4.1 Exercícios de revisão e aplicação...
1. Determine as equações (ou a matriz) de uma transformação afimqueenvieospontos
P (1, ¡1), Q(2, 1), R(3, 0) em P 0 (0, 1), Q 0 (1, 2), R 0 (0, 3) respectivamente.
2. Se P =(¡2, ¡1), Q =(1, 2) e R =(3, ¡6), qualéaáreado∆PQR? Quais são
as áreas das imagens de ∆PQR pelas transformações α k e β k definidas no exercício
seguinte?
3. Para um dado k, determine todos os pontos fixos e rectas fixas pelas transformações
α k e β k que têm equações, respectivamente
½ x 0 = kx
y 0 = y
e
½ x 0 = x + ky
y 0 = y
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