Tópicos de Geometria - CMUP

No caso de R n , o exemplo mais útil são as (de centro 0), D(0,k), que enviam cada
x 2 R n em kx. Podemos, mais geralmente, definir homotetias (também ditas esticões) de
centro arbitrário C 2 R n por
D(C, k) =T C D(0,k)T −C
Osignificado geométrico é claro: D(C, k) fixa C e envia cada semirecta de origem C
em si mesma, esticada pelo factor k. Os exercícios da secção 1 que conduziram aos três
primeiros teoremas podem ser usados ou adaptados de forma imediata, com a inclusão de
um factor k, para dar provas de teoremas análogos para similitudes:
Teorema 37 Seja f 2 Sim(R n ), de razão k.
1. Se f(0) = 0, entãof é linear etemosf = D(0,k)L = LD(0,k) com L 2 O(n),
isto é, f é uma aplicação ortogonal seguida de uma homotetia central (ou precedida:
comutam pois, sendo L linear, L(kx) =kL(x)).
2. A forma geral de f é f = T a LD(0,k), comL 2 O(n), istoé,f é uma homotetia
central seguida de uma isometria (de acordo com o tipo dessa isometria, f diz-se,
também, directa ou inversa)
3. f fica completamente determinada pelas imagens de n +1 pontos independentesafim
esefa 0 ,a 1 ,a 2 , ..., a n g e fb 0 ,b 1 ,b 2 ,...,b n g são dois conjuntos de n +1 pontos
independentes de R n , com d(a i ,a j ) = kd(b i ,b j ) para 0 ∙ i, j ∙ n, existe f 2
Sim(R n ),única,talquefa i = b i para 0 ∙ i ∙ n.
Relativamente ao pontos 1. e 2. do teorema, note-se que em dimensão dois, D(0,k)L
se representa matricialmente por
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
k 0 a11 §a 12 ka11 §ka
=
12
0 k ¨a 11 ¨ka 11
a 12
ka 12
com a 2 11 + a 2 12 =1, logo f 2 Sim(R n ) representa-se por uma matriz 3 £ 3:
2 ∙ ¸ 3 2 3
c11 §c 12 b 1 x
ˆf (x, y, 1) = 4 c 12 ¨c 11 b 2
5 4 y 5
0 0 1 1
com c 2 11 + c 2 12 = k 2 .
Exercício 38 Dêumaprovadoteoremaanterior.
Exercício 39 Se f 2 Sim(R n ), por 2. do teorema anterior, f é uma homotetia central
seguida de uma isometria; diga se também se pode representar f como uma isometria
seguida de uma homotetia central.
A classificação das similitudes de R 2 , análoga à das isometrias, baseia-se no seguinte
facto:
13