Tópicos de Geometria - CMUP

(b) A isometria R(l, α)I a éumareflexão deslizante sse a /2 l.
(c) Uma rotação R(l, α) deixa invariante o plano H sse l ? H.
(d) Todaaisometriaéprodutodeisometriasdeordem4.
12. Porque é que um espelho trocadireitaeesquerdamasnãotopoebase?
7 Quaterniões e rotações
Entre as isometrias de R 3 as rotações têm especial importância: como vimos, todas as
isometrias directas se podem obter como produto de rotações; para além disso são essenciais
em certas descrições da Física. As rotações estão intimamente ligadas à estrutura
algébrica dos quaterniões, H (de Hamilton, seu inventor -16/10/1843, embora se saiba que
Gauss já teria descoberto esta estrutura em 1820...). Os quaterniões têm, por isso, muitas
aplicações, em particular em aplicações computacionais para realidade virtual (ver [8]).
Recorde-se que se f é uma isometria directa de R 3 tal que f(0) = 0, então f é
uma rotação e f 2 SO(3): as isometrias directas que fixam a origem são precisamente
as rotações, que constituem o grupo SO(3). Já vimos que toda a rotação tem um eixo;
podemos ver de novo esse facto, verificando que se M ématrizdef 2 SO(3) (relativamente
a uma qualquer base ortonormada), isto é, M é ortogonal e det(M) =+1,entãoλ =+1é
valor próprio de M eportantoosvectores próprios associados ficam fixos, Mv = λv = v,
constituindo um eixo. Vejamos: como M −1 = M t ,temos
det(M ¡ I) = det(M ¡ I)detM t = det((M ¡ I)M t )
= det(I ¡ M t )=det(I ¡ M) t =det(I ¡ M)
= ¡ det(M ¡ I)
(Como det(¡A) =(¡1) n det A e neste caso n =3, temos a última igualdade) Então
det(M ¡ I) =0, ou seja, λ =+1é valor próprio.
Seja f 2 SO(3) e seja a um vector unitário tal que fa = a (a é portanto um vector
próprio, gerador do eixo da rotação). Se escolhermos uma base ortonormal fa, b, cg a
matriz relativamente a esta base será
2
3
1 0 0
4 0 cosθ ¡ sin θ 5
sin θ cos θ
em que θ é o ângulo de rotação.
Nota: É claro que podemos fazer algo análogo para o caso de f 2 O(3) ser uma
reflexão rotativa, a única diferença sendo um ¡1 em vez do 1 na matriz anterior.
Vejamos, com um exemplo, como se pode determinar o eixo e ângulo de rotação de
uma rotação, encontrando uma representação matricial nesta forma.
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