Tópicos de Geometria - CMUP

aplicação entre dois conjuntos finitoscomamesmacardinalidadeequeésobrejectivaé
necessariamente bijectiva.
Para cada par de vértices P, Q existe uma rotação que leva P em Q como se pode
facilmente verificar; significa isto que o conjunto dos vértices é uma órbita para a acção
de grupo de S d (C) em C; por outro lado, há precisamente 3 rotações que fixamumdado
vértice e que são a identidade e as rotações em torno da diagonal por esse vértice e de
ângulos 2π/3 e 4π/3. Temos portanto que o estabilizador de cada vértice tem 3 elementos
e a sua órbita 8, logo por um exercício anterior concluimos que a ordem de S d (C) é 24.
Exercício 108 Descreva explicitamente todos as rotações do cubo, indicando para cada
rotação o seu eixo e ângulo e escrevendo a permutação correspondente das 4 diagonais
como produto de ciclos disjuntos e transposições.
Exercício 109 Mostre que os pontos da superfície do cubo têm órbitas para a acção de
S d (C) com 24, 12, 8 ou 6 elementos. Descreva geometricamente os pontos estes diferentes
tipos de órbitas.
Finalmente o grupo de rotações do dodecaedro, D.
Exercício 110 Mostre que S d (D) tem 60 elementos, descrevendo os possíveis eixos e
ângulos detodasasrotações(sugestão:lembrequeD tem simetria central)
Exercício 111 Considere o grupo alterno A 5 ; descreva combinatoriamente os seus 60
elementos em termos do comprimento de ciclos, ou produto de ciclos.
Teorema 112 S d (D) » = A 5
Prova. A ideia é, à semelhança do que fizemos para o cubo, encontrar 5 objectos
geométricos associados ao dodecaedro e que sejam permutados pelas suas simetrias.
Esses objectos são os 5 cubos inscritos que descrevemos anteriormente: recorde-se que
começando com uma diagonal de uma das faces de D e acrescentando tendas, podemos
construir, de forma única, um cubo inscrito, tal que cada uma das suas 12 arestas é diagonal
de uma face de D. É claro, pelo processo de construção, que toda a rotação de
D permuta estes 5 cubos; recorde-se que associados a estes cubos, podemos considerar
5 tetraedros (de dois modos distintos), aos quais associámos uma numeração, de 1 a 5,
dos vértices de D de tal modo que os vértices de cada tetraedro têm o mesmo número
associado. Podemos agora verificar que cada rotação de D (definidasnoúltimoExercício...)
permuta também estes cinco tetraedros, e os seus números associados, e temos
assim definida uma aplicação α : S d (D) ¡! S 5 . Basta agora ver que α toma valores em
A 5 e é sobrejectiva (como já vimos no penúltimo exercício jS d (D)j = jA 5 j =60).
As numerações cíclicas, lendo no sentido retrógrado (clockwise), das 12 faces de D
dão os ciclos de comprimento 5, (1, 2, 3, 4, 5) na face do topo e os que se obtêm deste por
permutaçõespares;osciclosdefacesopostassãoinversosemA 5 (como nos quatro níveis
quevãodeumafaceàsuaopostaanumeraçãomantémamesmaordemcíclica,lerno
sentido retrógrado numa face é o mesmo que ler no sentido directo na face oposta...):
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