TÃ³picos de Geometria - CMUP

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8.5 Grupos finitosderotaçõesdeR 3 VimoscomoexemplosdegruposfinitosderotaçõesemR 3 , os grupos cíclicos C n ,osgrupos diedrais D n eostrêsgruposderotaçõesdossólidosplatónicos,A 4 , S 4 e A 5 . Todos eles são grupos de simetria. Na verdade estes exemplos esgotam todas as possibilidades, como provaremos. Exercício 118 Prove que os grupos de rotações dos sólidos platónicos não são cíclicos nem diedrais. Como já vimos, um grupo de rotações de R 3 temumpontoa que é fixo para todas as suas rotações e, portanto, a menos de conjugação pela translação T a , podemos supor que é um subgrupo de SO(3). Seja então G ∙ SO(3); comojávimostodaarotaçãotemumeixoe,porisso,para g 2 G existe um único par de pontos antípodas x, ¡x 2 S 2 ,ditosospólos de g, tal que g(x) =x e g(¡x) =¡x (excepto se g = id em que todos os pontos são fixos): fx, ¡xg = l\ S 2 em que l éoeixodeg; além disso toda a rotação fica completamente determinada pela sua restrição à esfera unitária S 2 . Vamos agora provar um facto básico da geometria da esfera que iremos usar. Lema 119 (Triângulos Esféricos) Numa esfera, a soma dos ângulos de qualquer triângulo é maior do que 180 o . Na geometria esférica, consideramos como rectas os , que são as intersecções com a esfera dos planos que passam pelo seu centro. Um triângulo esférico tem como lados três arcos de círculos máximos. O Lema anterior é consequência imediata do seguinte resultado sobre áreas: Teorema 120 Seja ∆ ½ S 2 um triângulo com ângulos a, b, c. A área de ∆ éiguala (a + b + c) ¡ π. Prova. Sejam A, B, C os vértices de ∆ e l, m, n os círculos máximos que contêm os seus lados, como se representa na figura seguinte. Dois cìrculos máximos intersectam-se em pontos antípodas e definem quatro regiões na esfera: gomos com vértices nesses pontos; considere-se o gomo entre m e n que contém ∆: sendo 4π =2£ 2π aáreadaesfera,aáreadogomoéproporcionalaoânguloa eé portanto 2a; analogamente os gomos entre n e l eentrem e l que contêm ∆ têm áreas iguais a 2b e 2c,respectivamente. Sejam T 1 , T 2 e T 3 os triângulos que em cada um destes três gomos são o complementar de ∆. Note-se que cada círculo máximo é invariante pela inversão central, I 0 ,ecadapar de gomos verticalmente opostos definido por dois círculos máximos é permutado por I 0 . Sejam T1, 0 T2 0 e T3 0 os triângulos que são centralmente simétricos a T 1 , T 2 e T 3 , respectivamente. A outra figura representa a esfera com os três círculos máximos que definem ∆ (sombreado). 58
A a n b B m l c C Éafigura planar que se obtém por projecção estereográfica a partir de um ponto exterior aos três círculos. Para além dos triângulos T i eosseussimétricosT i, 0 estão também representados os simétricos dos vértices de ∆, A 0 , B 0 e C 0 . Como a inversão central preserva aárea,temosqueT i e Ti 0 , i =1, 2, 3 têm a mesma área. A T 3 n m B T l 2 C T 1 T' 2 T' 3 T' 1 A' C' B' Considerando a semi-esfera que na figura corresponde ao disco delimitado por m, ela decompõe-se em quatro triângulos e representando as áreas das figuras pelos seus nomes, 59
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Tópicos de Geometria 2003/2004 Edu
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1 Isometrias e simetrias - generali
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