Noter til Geometri - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

10 2. Fuldstændige metriske rum Sætning 2.9. Lad (X, d) være et metrisk rum. Så findes et fuldstændigt metrisk rum ( X, d), og en afstandsbevarende afbildning i : X → X, således at i(X) er tæt i X. To sådanne fuldstændiggørelser er isometriske, dvs. der findes en afstandsbevarende bijektion mellem dem. I eksemplerne (i) og (ii) fra Bemærkning 2.8 har vi (Q, d) = R (C(K, R n ), d2) = L 2 (K, R n ) hvor L 2 (K, R n ) er rummet af funktioner, hvis kvadrat er Lebesgue integrabel. Sætning 2.9 findes bevist i [BV] (Se også Opgave 7.17 eller 10.16 i [R]). At L 2 (K, R n ) er fuldstændigt er bevist i f.eks. [R].
3 Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger Lad U ⊆ R n være åben (m.h.t. den sædvanlige afstandsfunktion) og lad I = (a, b) være et åbent interval i R. Vi betragter en kontinuert funktion f : U × I → R n (3.1) I denne paragraf skal vi undersøge, i hvilket omfang der findes differentiable kurver x : I → U, så x ′ (t) = f(x(t), t); t ∈ I (3.2) Vi tænker på f som givet og ønsker at finde alle løsninger x, som opfylder ligningen (3.2). En sådan ligning kaldes en ordinær differentialligning (på engelsk Ordinary Differential Equation). Vi skal arbejde under følgende antagelse på f: Afbildningen f : U × I → Rn er kontinuert, de partielle afledede ∂f (x, t) i = 1, . . .,n, eksisterer for alle (x, t) ∈ U × I og er ∂xi kontinuerte på U × I. (3.3) Bemærk at der ikke gøres nogen antagelse om eksistensen af den afledede af f med hensyn <strong>til</strong> t. Hovedsætningen siger nu følgende: Hovedsætning 3.1. Lad U være en åben delmængde af R n , I ⊆ R et åbent interval og f : U × I → R n en funktion som opfylder antagelsen (3.3). Da har vi (i) (Lokal eksistens) Til x0 ∈ U og t0 ∈ I findes et åbent interval J ⊆ I, som indeholder t0, og en differentiabel kurve x : J → U med x(t0) = x0, og som løser (3.2). (ii) (Global entydighed) Hvis x1, x2 : I → U er løsninger <strong>til</strong> (3.2), og der findes et t0 med x1(t0) = x2(t0), så er x1 = x2. Beviset tager resten af denne paragraf. Først har vi brug for et lemma. Lemma 3.2. Lad D0 = B(x0, r) ⊆ U og I0 = [t0 − a, t0 + a] ⊆ I. Under antagelsen (3.3) findes der en konstant c, så |f(y, t) − f(x, t)| ≤ c|y − x| for x, y ∈ D0, t ∈ I0 Bevis. Da D0 × I0 ⊆ Rn+1 er lukket og begrænset, har enhver af funktionerne ∂fj ∂xi (x, t) et maksimum og et minimum på D0 × I0, [KT] Sætning 2.11. Der findes derfor en konstant d ∈ R, så ∂fj (x, t) ∂xi ≤ d; i, j = 1, . . .,n, (x, t) ∈ D0 × I0. 11
Page 1 and 2: N o t e r t i l G e o m e t r i J o
Page 3 and 4: Indhold Litteratur ii 1 Metriske ru
Page 5 and 6: 1 Metriske rum I det Euklidiske tal
Page 7 and 8: 1. Metriske rum 3 Beviset for (1.4)
Page 9: 1. Metriske rum 5 Forskellige metri
Page 12 and 13: 8 2. Fuldstændige metriske rum Sæ
Page 16 and 17: 12 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 18 and 19: 14 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 21 and 22: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 23 and 24: 4. Den globale eksistenssætning 19
Page 25: 4. Den globale eksistenssætning 21
Page 28 and 29: 24 5. Topologiske rum Ethvert metri
Page 30 and 31: 26 5. Topologiske rum Det følger f
Page 32 and 33: 28 5. Topologiske rum og lad π : Y
Page 34 and 35: 30 5. Topologiske rum Bevis. Lad U1
Page 36 and 37: 32 5. Topologiske rum (iv) Lad X v
Page 38 and 39: 34 6. Kompakte rum Eksempel 6.5. Et
Page 40 and 41: 36 6. Kompakte rum Eksempel 6.11. V
Page 42 and 43: 38 6. Kompakte rum Korollar 6.18. L
Page 44 and 45: 40 7. Den inverse funktions sætnin
Page 50 and 51: 46 8. Regulære flader i R 3 Lemma
Page 52 and 53: 48 8. Regulære flader i R 3 Vi ska
Page 54 and 55: 50 8. Regulære flader i R 3 Eksemp
Page 56 and 57: 52 8. Regulære flader i R 3 Bevis.
Page 58 and 59: 54 8. Regulære flader i R 3 Koroll
Page 61 and 62: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 63 and 64: 9. Opgaver C 5.3. Lad (X, d) være
Page 65:
9. Opgaver E 6.1. Lad T være følg
Page 69 and 70:
A Greens sætning i planen Vi får
Page 71 and 72:
A. Greens sætning i planen K Af tr
Page 73 and 74:
B Nogle begreber fra lineær algebr
Page 75 and 76:
B.2. Indre produkt O B.2 Indre prod
Page 77:
B.2. Indre produkt Q og 〈f(v), v
show all

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?