Noter til Geometri - Aarhus Universitet
Noter til Geometri - Aarhus Universitet
Noter til Geometri - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
20 4. Den globale eksistenssætning<br />
Bevis. Frenets ligninger<br />
dt<br />
= kn<br />
ds<br />
dn<br />
= −kt − τn<br />
ds<br />
db<br />
= τn<br />
ds<br />
(4.7)<br />
skrives ud med de variable t = (t1, t2, t3), n = (n1, n2, n3), b = (b1, b2, b3) så R 9 er<br />
givet de variable (t1, t2, t3, n1, . . .,b3). Så lad f : I × R 9 → R 9 være funktionen<br />
<br />
t1 <br />
f s, . =<br />
b3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜−k<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−k<br />
0<br />
−k<br />
k<br />
τ<br />
k<br />
0<br />
τ<br />
k<br />
τ<br />
−τ<br />
0<br />
−τ<br />
0<br />
−τ<br />
⎞ ⎛<br />
t1<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ . ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ . ⎠<br />
Så Korollaret giver en éntydig løsning <strong>til</strong> (4.7) t(s), n(s), b(s) med t(s0), n(s0),<br />
b(s0) = 1 00<br />
<br />
,<br />
010<br />
<br />
,<br />
001<br />
<br />
, for givet s0 ∈ I.<br />
Derefter løses α ′ (s) = t(s) med α(s0) = p ∈ R 3 .<br />
Påstand.<br />
(1) α er parametriseret ved kurvelængde.<br />
(2) Krumning = k(s).<br />
(3) Torsion = τ(s).<br />
Første vises at t(s), n(s), b(s) er en ortonormal basis for hvert s. Her<strong>til</strong> betragtes<br />
de 6 funktioner<br />
som løsninger <strong>til</strong> ligningssystemet<br />
〈t, n〉, 〈t, b〉, 〈n, b〉, 〈t, t〉, 〈n, n〉, 〈b, b〉<br />
d<br />
〈t, n〉 = k〈n, n〉 − k〈t, t〉 − τ〈t, b〉,<br />
ds<br />
d<br />
〈t, b〉 = k〈t, b〉 + τ〈t, n〉,<br />
ds<br />
d<br />
〈n, b〉 = −k〈t, b〉 − τ〈b, b〉 + τ〈n, n〉,<br />
ds<br />
b3<br />
⎞