Noter til Geometri - Aarhus Universitet

B Nogle begreber fra lineær algebra i 2
dimensioner
B.1 Vektorrum og lineære afbildninger
Vi begynder med at repetere de centrale begreber fra kapitel 3 i F. Beauregard:
Linear algebra vedrørende abstrakt 2-dimensionale vektorrum. Tangentplanen Tp S
til en regulær flade S ⊂ R 3 er vores primære eksempel. Det er et underrum af
talrummet R 3 .
En delmængde V ⊂ R 3 er et underrum såfremt
v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V
λ ∈ R, v ∈ V ⇒ λv ∈ V.
Det er et 2-dimensionalt underrum, såfremt det har en basis bestående af to vektorer
b1 ∈ V og b2 ∈ V , dvs.
(i) V = {λ1b1 + λ2b2 | λ1, λ2 ∈ R}
(ii) λ1b1 + λ2b2 = 0 ⇒ λ1 = 0 og λ2 = 0.
En afbildning f : V → W mellem vektorrum er lineær hvis f(λ1v1 + λ2v2) =
λ1f(v1) + λ2f(v2) for vilkårlige v1, v2 ∈ V og λ1, λ2 ∈ R. En lineær afbildning
f : R2 → R2 er giver ved en 2 × 2 matrix:
a11 a12 1
A = , hvor f =
0
Så er
f
a21 a22
x1
x2
= x1f
1
+ x2f
0
a11
a21
0
=
1
og f
a11 a12
a21 a22
0
=
1
x1
En basis B = {b1, b2} for V inducerer en isomorfi
ˆB: R 2 → V, B(λ1, ˆ λ2) = λ1b1 + λ2b2.
a12
Hvis B1 og B2 er to baser for V , så er overgangsmatricen T12 givet ved det kommutative
diagram
R 2
ˆB1
V
T12
ˆB2
R 2
x2
.
a22
.
, T12 = ˆ B −1
2 ◦ ˆ B1. (B.1)
Lad f : V → W være en lineær afbildning mellem 2-dimensionale vektorrum, og lad
B og C være baser for henholdsvis V og W. Vi definerer den lineære afbildning
F : R 2 → R 2 ved det kommutative diagram
ˆB
V
R 2
f
W
F R 2
Ĉ , F = Ĉ−1 ◦ f ◦ ˆ B. (B.2)
M