Noter til Geometri - Aarhus Universitet

B 9. Opgaver
2.4. Vis at operatornormen på Mn(R) opfylder
Vis at |AB| ≤ |A| · |B|.
|A| = inf c ∈ R |Ax| ≤ c|x| for alle x ∈ R n
2.5. Overvej hvornår en række ∞ k=1 vk er konvergent i et fuldstændigt, normeret
vektorrum (V, | · |). Vis at ∞ k=1 vk er konvergent såfremt ∞ k=1 |vk| er konvergent.
3.1. Lad f : R × I → R være funktionen
f(x, t) = a(t)x + b(t),
hvor a, b : I → R er kontinuerte, og I er et vilkårligt åbent interval. Vis for
t0 ∈ I, x0 ∈ R at differentialligningen (3.2) har en entydig bestemt løsning
med x(t0) = x0. (Hjælp: Antag først at x(t) er en løsning til (3.2), og find en
differentialligning som
opfylder.)
y(t) = x(t) exp −
t
t0
a(s) ds
4.1. Lad Mn(R) være udstyret med operatornormen. Vis at
exp(A) =
er konvergent. Vis at exp(A + B) = exp(A) · exp(B) når AB = BA.
4.2. Løs differentialligningen
for A ∈ Mn(R).
∞
k=0
A k
k!
x ′ (t) = A · x(t), x(0) = x0
5.1. Lad (X, d) være et metrisk rum, og lad Td være familien af åbne delmængder
af X fra Definition 1.6. Vis at Td er en topologi på X.
5.2. Vis, at metrikkerne i Eksempel 1.11 er ækvivalente