Noter til Geometri - Aarhus Universitet

5. Topologiske rum 29
Bevis. T1 er oplagt. T2 følger fra (i) i ovenstående definition. Thi for x ∈ B1 ∩ B2,
findes der et B(x) ∈ B med x ∈ B(x) ⊆ B1 ∩ B2, og der gælder derfor, at
B1 ∩ B2 =
B(x) ∈ T
x∈B1∩B2
Endelig viser den mængdeteoretiske identitet
∩
=
α∈I
Bα
β∈J
Bβ
(α,β)∈I×J
Bα ∩ Bβ
at T2 er opfyldt. Betingelse (ii) i Definition 5.15 garanterer at T3 er opfyldt.
Eksempel 5.17. I et metrisk rum (X, d) udgør kuglerne Bd(x, r), x ∈ X og r > 0
en basis, og den inducerede topologi er netop Td (sml. Definition 1.6 og opgave 5.8).
Lad nu X1 = (X1, T1) og X2 = (X2, T2) være topologiske rum. Vi vil definere
en topologi på det Cartesiske produkt X1 × X2 af par af elementer (x1, x2), hvor
xi ∈ Xi, i = 1, 2. Det er naturligt at kræve, at de to projektionsafbildninger
pr 1 : X1 × X2 → X1, pr 2 : X1 × X2 → X2
skal være kontinuerte. Vi bruger samme princip som i (5.5), og søger den groveste
topologi på X1 × X2, hvor begge projektioner er kontinuerte. Specielt skal pr −1
1 (U1)
og pr −1
2 (U2) tilhøre TX1×X2 når Uν ∈ Tν. Bemærk at
pr −1
1 (U1) ∩ pr −1
2 (U2) = U1 × U2
ikke generelt er af denne form. Vi definerer en basis for X1 × X2 ved
BX1×X2 = {U1 × U2 | Uν ∈ Tν}. (5.9)
Betingelse (i) i Definition 5.15 er opfyldt, da BX1×X2 er lukket under fællesmængde,
(U1 × U2) ∩ (U ′ 1 × U ′ 2 ) = (U1 ∩ U ′ 1 ) × (U2 ∩ U ′ 2 ),
og betingelse (ii) er opfyldt da X1 × X2 ∈ BX1×X2.
Definition 5.18. Produkttopologien på det Cartesiske produkt X1 × X2 er topologien
induceret fra basen (5.9). Det topologiske rum (X1 × X2, TX1×X2) kaldes det
topologiske produkt af X1 og X2.
Lemma 5.19. De to projektionsafbildninger
er kontinuerte.
pr 1 : X1 × X2 → X1
pr 2 : X1 × X2 → X2