Noter til Geometri - Aarhus Universitet

6. Kompakte rum 35
Sætning 6.7. Lad X og Y være topologiske rum, og lad f : X → Y være en
kontinuert afbildning. Da gælder:
(i) Hvis X er kompakt er billedmængden f(X) ⊆ Y også kompakt.
(ii) Hvis yderligere Y er et Hausdorff-rum og f er bijektiv, så er den inverse
afbildning f −1 : Y → X kontinuert.
Bevis. (i): Lad {Vα|α ∈ I} være en åben overdækning af delmængden f(X) af Y .
Da f er kontinuert, er f −1 (Vα) åben i X og X ⊆
α∈I f −1 (Vα). Thi til x ∈ X findes
et α ∈ I så f(x) ∈ Vα, og dermed x ∈ f −1 (Vα). Da X er kompakt, findes der en
endelig delmængde J ⊆ I så X ⊆
α∈J f −1 (Vα). Dermed er f(X) ⊆
α∈J Vα.
(ii): Vi skal vise, at f −1 : Y → X er kontinuert eller med andre ord, at f(U) er
åben i Y for enhver åben delmængde U af X. Nu er X −U lukket, og ifølge Sætning
6.6(i) dermed kompakt. Sætning 6.7(i) fortæller os, at f(X − U) er kompakt, og så
ifølge Sætning 6.6(ii) også lukket. Nu er
f(X − U) = Y − f(U)
da f er bijektiv, og det følger, at f(U) er åben.
Definition 6.8.
(i) En afbildning f : X → Y kaldes åben, hvis f(U) er åben for enhver åben
delmængde U af X.
(ii) f kaldes en lukket afbildning, hvis f(C) er lukket for enhver lukket delmængde
C af X.
(iii) En homeomorfi f : X → Y er en bijektiv afbildning, således at både f og den
inverse afbildning f −1 : Y → X er kontinuerte.
Det er klart, at en homeomorfi f : X → Y giver en bijektiv korrespondance
f : TX → TY mellem de åbne mængder i X og Y . Homeomorfier er således de
strukturbevarende afbildninger mellem topologiske rum; de svarer til isomorfier i
algebra.
Korollar 6.9. Lad X og Y være topologiske rum med X kompakt og Y Hausdorff,
og antag at f : X → Y er en kontinuert, injektiv afbildning. Så er f : X → f(X)
en homeomorfi, hvor f(X) har sportopologien fra Y .
Bevis. Dette følger umiddelbart fra Sætning 6.7 for den bijektive afbildning f :
X → f(X).
Eksempel 6.10. Lad f : (−2, ∞) → R 2 være kurven
f(t) = (t 3 − 4t, t 2 − 4),
se billedet i [dC], §1.2, Eksempel 3, men bemærk, at vi ikke bruger den del af kurven,
som ligger i 2. kvadrant.
Afbildningen f er kontinuert, endda differentiabel, og den er injektiv, men billedet
f(−2, ∞) ⊆ R 2 opfattet som et topologisk rum i sportopologien er ikke homeomorf
med det åbne interval (−2, ∞). Hvorfor ikke?