Noter til Geometri - Aarhus Universitet

J A. Greens sætning i planen
Eksempel A.4. Lad Q = [0, a] × [0, b],
Q
∂B
∂u
(0, b)
(0, 0)
∂A
− dudv =
∂v
b
= B(a, v)dv −
0
= (Adu + Bdv).
α
b a
b
0
0
0
∂B
dudv −
∂u
B(0, v)dv −
a
0
a b
0
0
A(u, b)du +
(a, b)
α
(a, 0)
∂A
∂v dvdu
a
0
A(u, 0)du
Lemma A.5. Lad h : U → U, U, U ⊆ R 2 åbne, og h en orienteringsbevarende
diffeomorfi (dvs. det(Dh) > 0). Hvis Greens sætning er sand for Q ⊆ U, så er den
også sand for h(Q) ⊆ U.
Bevis. Sæt Q = h(Q) med randkurve ¯α = h ◦ α, og lad (u, v) ∈ U, (ū, ¯v) ∈ U,
betegne de respektive koordinater så
h(u, v) = ū(u, v), ¯v(u, v) , (u, v) ∈ U.
Lad Ā, ¯ B ∈ C∞ og bemærk først at
Ādū + Bd¯v ¯ = (Adu + bDv) (A.1)
hvor A og B er givet ved
thi ifølge kædereglen er så
¯α
α
A = Ā∂ū
∂u + ¯ B ∂¯v
, B = Ā∂ū
∂u ∂v + ¯ B ∂¯v
, (A.2)
∂v
Ā dū
ds + ¯ B d¯v
ds
= Adu + Bdv
ds ds .
Ved at differentiere A og B i (A.2) og brug af kædereglen fås ved udregning:
∂B
∂u
∂A
−
∂v =
∂B¯ ∂ū
∂Ā
− det Dh.
∂¯v