Noter til Geometri - Aarhus Universitet

24 5. Topologiske rum
Ethvert metrisk rum (X, d) er også et topologisk rum, nemlig ved at sætte T =
Td, hvor Td er familien af åbne mængder som defineret i Definition 1.6. Vi kalder Td
den inducerede topologi på X (opgave 5.1).
To metrikker d1 og d2 på samme mængde X kan godt føre til samme inducerede
topologi, dvs. Td1 = Td2. Dette sker ifølge Sætning 1.10, hvis d1 og d2 er ækvivalente.
I Eksempel 1.11 indførte vi tre forskellige metrikker på R n . Disse er alle ækvivalente
(Opgave 5.2), så Td1 = Td2 = Td3. Dette kaldes den Euklidiske topologi på
R n .
Som vi har set giver ethvert metrisk rum et induceret topologisk rum, og man
kan spørge om ethvert topologisk rum fremkommer på denne måde. Dette er ikke
tilfældet – topologiske rum er et mere generelt begreb end metriske rum (opgave
5.3).
Definition 5.2. (i) Lad x ∈ X være et punkt i et topologisk rum (X, T ). En omegn
N af x er en delmængde af X som indeholder x, og med den egenskab at der findes
U ∈ T , så x ∈ U ⊆ N.
(ii) En åben omegn af x er en mængde U ∈ T som indeholder x.
Ifølge Definition 1.6 vil Bd(x, ε) ∈ Td, dvs. de er åbne mængder i den inducerede
topologi, så de er åbne omegne af x; Bd(x, ε) er også en omegn af x i (X, Td).
Definition 5.3. En følge af punkter {xk}k∈N i et topologisk rum X kaldes konvergent
med grænsepunkt x ∈ X, hvis der for enhver omegn N af x findes et K, så
xk ∈ N for alle k > K.
Det skal bemærkes, at punktfølger dog ikke spiller den samme centrale rolle i
topologiske rum som de gør i R n .
Definition 5.4. Lad A være en delmængde af det topologiske rum X = (X, T ).
(i) Et punkt a ∈ A kaldes et indre punkt i A, hvis A er en omegn af a. Mængden
af indre punkter i A betegnes int(A) eller ◦
A.
(ii) Randen ∂A af A er mængden
∂A = X − (int(A) ∪ int(X − A))
(iii) Afslutningen af A er mængden A = ∂A ∪ int(A)
Lemma 5.5. Det indre int(A) er altid en åben mængde, og det er den største åbne
delmængde af X, som er indeholdt i A.
Bevis. Lad U ⊆ A, og antag U er en åben delmængde af X. En åben delmængde er
en (åben) omegn af ethvert af sine punkter, så U består af indre punkter i A, dvs
U ⊆ int(A). På den anden side, hvis a ∈ int(A), så findes en åben omegn Ua ⊆ A af
a. Da Ua ⊆ int(A) ifølge ovenstående, og derfor
int(A) =
Ua,
a∈int(A)
så er int(A) åben ifølge T1.