Noter til Geometri - Aarhus Universitet

54 8. Regulære flader i R 3
Korollar 8.21. Lad S1, S2 være regulære flader og ϕ: S1 → S2 en kontinuert afbildning.
Så er følgnde udsagn ækvivalente:
(i) ϕ: S1 → S2 er en C ∞ afbildning (iflg. Definition 8.20).
(ii) ϕ: S1 → R 3 er en C ∞ afbildning (iflg. Definition 8.17).
(iii) For et vilkårligt par af koordinatsystemer x1: U1 → U ′ 1 ⊆ S1, x2: U2 → U ′ 2 ⊆
S2, med ϕ(U ′ 1 ) ⊆ U ′ 2
er afbildningen x−1
2 ◦ ϕ ◦ x1: U1 → U2 en C ∞ afbildning.
Bevis. Opgave.
Eksempel 8.22. Lad S1, S2 være regulære flader og antag S1 ⊆ V1, S2 ⊆ V2,
V1, V2 ⊆ R 3 åbne delmængder. Lad f : V1 → V2 være en diffeomorfi med f(S1) = S2.
Så er ϕ = f|S1 : S1 → S2 en diffeomorfi med invers f −1 |S2. Thi både ϕ og ϕ −1 er
C ∞ ifølge Eksempel 8.19 og Korollar 8.21.
Special tilfælde er følgende
(1) Affin afbildning. Lad f : R 3 → R 3 være en afbildning på formen f(p) = p0 +Ap,
hvor p0 ∈ R 3 er fast og A er en given invertibel matrix. Antag at f(S1) = S2.
Så er ϕ = f|S1 : S1 → S2 en diffeomorfi.
(2) Spejling. Lad σ: R 3 → R 3 være givet ved σ(x, y, z) = (x, y, −z) og antag at en
flade S tilfredsstiller p ∈ S ⇒ σ(p) ∈ S. Så er σ: S → S en diffeomorfi med
invers σ da σ 2 = id. Et eksempel på S er omdrejningshyperboloiden (Eksempel
8.9).
(3) Rotation. For θ ∈ R lad Rθ : R3 → R3 være den lineære afbildning givet ved
matricen ⎛
⎞
cosθ − sin θ 0
⎝sin
θ cosθ 0⎠.
0 0 1
Bemærk at R−θ ◦ Rθ = id, så hvis det for en flade S gælder at Rθ(S) = S for
alle θ ∈ R så er Rθ : S → S en diffeomorfi for alle θ. I så fald kaldes S rotationsinvariant.
Et eksempel er torus (Eksempel 8.10). Mere generelle eksempler ses
herunder.