Noter til Geometri - Aarhus Universitet

18 4. Den globale eksistenssætning
Dette afslutter beviset for (4.3). Da
c
lim
k→∞
kℓk k!
= 0,
er T k en kontraktion for tilstrækkelig stort k, og vi kan anvende Sætning 2.6. Lad
x være det entydigt bestemte fixpunkt for T k . Så er x også et fixpunkt for T. Thi
T k (Tx) = T(T k x) = Tx, så Tx er også et fixpunkt for T k . Da fixpunkter for T k er
entydige, er Tx = x. Hvis omvendt x er et fixpunkt for T, så er x også et fixpunkt
for T k og dermed entydigt bestemt.
Sætning 4.3. Antag at f : R n × I → R n er kontinuert og tilfredsstiller (4.1). For
ethvert t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes en og kun en differentiabel kurve x : I → R n ,
således at
x ′ (t) = f(x(t), t) og x(t0) = x0.
Bevis. Lad x : I → R n være en differentiabel kurve med
Så er
x ′ (t) = f(x(t), t) og x(t0) = x0. (4.4)
x(t) = x0 +
t
t0
f(x(s), s) ds; t ∈ I.
Betragt nu vektorrummet C(I, Rn ) af kontinuerte afbildninger fra I til Rn og operatoren
T
Tx(t) = x0 +
t
t0
f(x(s), s) ds; t ∈ I. (4.5)
Som vi har set, er der en 1−1 korrespondance mellem løsninger til ligningen (4.4) og
fikspunkter for T. Det er derfor tilstrækkeligt at vise, at operatoren T på C(I, R n )
har et og kun et fikspunkt.
For ethvert lukket og begrænset delinterval K af I som indeholder t0, vil operatoren
T inducere en operator på C(K, R n ), der ifølge Sætning 4.2 har præcist ét
fikspunkt xK ∈ C(K, R n ). Hvis K og L, L ⊇ K, er sådanne lukkede og begrænsede
delintervaller af I, vil xL(t) = xK(t) for alle t ∈ K p.g.a. entydigheden af fikspunktet.
Det følger, at vi kan stykke xK’erne sammen til et x ∈ C(I, R n ), der vil være
et fikspunkt for T. Lad omvendt x ∈ C(I, R n ) være et fikspunkt for T. For ethvert
K som ovenfor vil der gælde at x(t) = xK(t) for t ∈ K, igen p.g.a. entydigheden af
fikspunktet. Dette viser, at fikspunktet for T på hele I er entydigt bestemt.
Vi betragter et simpelt eksempel på en anvendelse af Sætning 4.3. Lad Mn =
Mn(R) være vektorrummet af reelle (n × n)-matricer. Vi giver Mn(R) normen, som
hører til det indre produkt
〈A, B〉 = tr(AB T ) =
n
i,j=1
aijbij,