Noter til Geometri - Aarhus Universitet

1. Metriske rum 5
Forskellige metrikker d og d ′ på den samme mængde X kan give anledning til det
samme system af åbne mængder. Dette sker, hvis metrikkerne opfylder følgende
betingelse:
Til ethvert x ∈ X og ethvert ε > 0 findes δ > 0 og δ ′ > 0, således at
Bd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) og Bd ′(x, δ′ ) ⊆ Bd(x, ε) (1.9)
Vi kalder sådanne metrikker ækvivalente.
Sætning 1.10. Ækvivalente metrikker giver samme system af åbne mængder.
Bevis. Hvis U er åben m.h.t. d ′ og x ∈ U, så findes ε > 0, så Bd ′(x, ε) ⊆ U. Vælg
δ > 0 med Bd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) ⊆ U. Dermed er U åben m.h.t. d.
Eksempel 1.11. Metrikkerne på R n givet ved
d1(x, y) =
(xi − yi) 2
1/2 d2(x, y) = max |xi − yi|
d3(x, y) = |xi − yi|
er alle ækvivalente. For n = 2 har vi følgende billede af enhedskuglerne m.h.t.
de tre metrikker Den yderste kasse er Bd2(0, 1), den inderste kasse er Bd3(0, 1) og
cirkelskiven er enhedskuglen hørende til d1.