Noter til Geometri - Aarhus Universitet

A. Greens sætning i planen K
Af transformationssætningen for integraler (Sætning A.1) fås så da det Dh > 0:
∂B¯
∂Ā ∂B ∂A
− dūd¯v = − dudv. (A.3)
∂ū ∂¯v
Q ∂u ∂v
Q
Ved at sammenholde (A.1) og (A.3) ses at Greens sætning for Ā, ¯ B over Q er ækvivalent
med sætningen for A, B over Q.
Eksempel A.6. Lad Q ⊆ R 2 være begrænset af en glat kurve ¯α på formen
ā = r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ) , a ≤ θ ≤ b, (b − a) ≤ 2π
og to radiale kurver fra (0, 0).
Lad
U = (u, v) ∈ R 2 | u > 0, v ∈ I
I ⊆ R interval indeholdende [a, b] hvortil ¯α udvider glat. Sæt h : U → R 2
Så er h(Q) = Q for
h(u, v) = uα(v), (u, v) ∈ U.
Q = [0, 1] × [a, b]
og h er bijektiv på denne mængde og er en orienteringsbevarende diffeomorfi på
R+ × I idet
det(Dh) = det(α, uα ′ ) = r 2 u > 0.
For ε > 0 fås således af Eksempel A.4 og ovenstående Lemma A.5
∂B¯
∂Ā
Ādū
− dūd¯v = + − + + Bd¯v ¯
∂ū ∂¯v
Q ε
¯α
hvor Qε = h(Qε), Qε = [ε, 1] × [a, b] samt γε a (t) = tα(a) og γε b (t) = tα(b), ε ≤ t ≤ 1.
For ε → 0 fås således
∂B¯ ∂ū
Q ε
∂Ā
− dūd¯v =
∂¯v
¯α
γ ε a
+
γ 0 a
γ ε b
−
γ 0 b
¯α
ε¯α
Ādū + ¯ Bd¯v .