Noter til Geometri - Aarhus Universitet

5 Topologiske rum
Et topologisk rum er den mest generelle matematiske struktur, hvor begreberne
omegn og kontinuitet har en mening. Det kan sammenlignes med de mest generelle
matematiske strukturer, hvori man regner. Her er strukturerne gruppe, ring og
vektorrum velkendte.
Inden vi giver definitionen, er det praktisk at samle en række mængdeteoretiske
udsagn, som det overlades til læseren at bevise.
For en mængde X lader vi P(X) betegne familien af alle delmængder af X
inklusiv ∅ og X selv. En afbildning f : X → Y giver anledning til en afbildning
hvor for V ∈ P(X)
f −1 : P(Y ) → P(X) (“urbilledet”)
f −1 (V ) = {x ∈ X | f(x) ∈ V } (5.1)
For delmængder Aα ∈ P(X), α ∈ I har vi deres foreningsmængde ∪Aα ∈ P(X)
af elementer i X, som er indeholdt i mindst ét Aα, deres fællesmængde ∩Aα af
elementer i X, som tilhører alle Aα. Endelig har vi differensmængden (eller komplementærmængden)
X − A af elementer i X, som ikke ligger i A. Der gælder
X −
Aα =
(X − Aα), X −
Aα =
(X − Aα). (5.2)
α∈I
α∈I
α∈I
Urbilledafbildningen fra (5.1) har følgende egenskaber:
f −1
=
f −1 (Bα)
α∈I
f −1
Bα
Bα
α∈I
α∈I α∈I
f −1 (Y − B) = X − f −1 (B).
α∈I
=
f −1 (Bα) (5.3)
Definition 5.1. En topologi på en mængde X består af en familie T af delmængder
af X, T ⊆ P(X), som opfylder
(T1) Uα ∈ T , α ∈ I ⇒
α∈I Uα ∈ T
(T2) U1, U2 ∈ T ⇒ U1 ∩ U2 ∈ T
(T3) ∅ ∈ T , X ∈ T .
Vi bemærker, at (X, T ) ikke nødvendigvis er en mængdealgebra som kendt fra statistik
og sandsynlighedsregning, da U ∈ T ikke medfører at komplementær mængden
X − U ∈ T .
En mængde X med en topologi T ⊆ P(X) kaldes et topologisk rum. Delmængderne
U fra T kaldes de åbne mængder, og vi siger at en delmængde C ⊆ X er
lukket såfremt differensmængden X − C er åben.
23