Noter til Geometri - Aarhus Universitet

A Greens sætning i planen
Vi får brug for følgende sætning fra integrationsteori:
Sætning A.1 (Transformationssætningen for integraler). Lad U, U ⊆ R2 og
h : U → U en diffeomorfi. Så er en funktion f på U integrabel hvis og kun hvis f ◦h
er integrabel. I så fald gælder
f = (f ◦ h) |det(Dh)|
dvs.
U
U
f(ū, ¯v)dūd¯v = (f ◦ h)(u, v)
det
U
U
∂ū
∂u
∂¯v
∂u
∂ū
∂v
∂¯v
∂v
dudv.
Vi vil ikke vise denne sætning, men kun bemærke, at et specialtilfælde er integration
i polære koordinater:
Eksempel A.2. Lad U = {(r, θ) | r > 0, −π < θ < π}, U = R 2 − {(x, 0) | x ≦ 0},
og h : U → U givet ved
Så er
h(r, θ) = (r cosθ, r sin θ), (r, θ) ∈ U.
det Dh = det
cosθ −r sin θ
= r
sin θ r cosθ
Sætning A.1 giver derfor i dette tilfælde, at for f : U → R integrabel er
r π
f(x, y)dxdy = f(r cosθ, r sin θ)rdθdr.
U
0
−π
Lad nu U ⊂ R 2 åben og Q ⊂ U et kompakt “regulært” område med ∂Q sporet for en
stykkevis C ∞ kurve α som er positivt orienteret med hensyn til Q (dvs. tværvektoren
til α ′ “peger ind” i Q). Vi vil ikke definere “regulært område” men kun behandle visse
eksempler, hvor vi vil vise følgende:
Sætning A.3 (Greens sætning). For A, B : U → R C∞ funktioner gælder
b
∂B ∂A
′ ′
− dudv = A(α(s))u (s) + B(α(s))v (s) ds.
∂u ∂v
Q
Notation. Højre side skrives ofte kort
b
′ ′
(Adu + Bdv) := A(α(s))u (s) + B(α(s))v (s) ds.
α
a
a
I