Noter til Geometri - Aarhus Universitet

34 6. Kompakte rum
Eksempel 6.5. Et lukket begrænset interval [a, b] ⊆ R er en kompakt delmængde.
Thi lad {Uα | α ∈ I} være en åben overdækning af [a, b]. Betragt den begrænsede
ikke tomme mængde
M = x ∈ [a, b] [a, x] er overdækket af endelig mange Uα’er .
Lad m = sup M. Der findes et β ∈ I så at m ∈ Uβ. Da Uβ er åben indeholder Uβ
et åbent interval (m − ε, m + ε) og m − ε ∈ M. Derfor er [a, m − ε] overdækket af
endelig mange Uα’er, og [a, m + ε/2] vil derfor være indeholdt i disse forenet med
Uβ. Vi påstår endelig at m = b. Hvis nemlig m < b, ville argumentet ovenfor vise at
[a, m+ε/2] var overdækket af endelig mange Uα’er i modstrid med at m = sup M.
De følgende to sætninger anvendes uhyre ofte i den matematiske litteratur, ofte
uden yderligere bemærkninger.
Sætning 6.6. Lad X være et topologisk rum.
(i) Hvis X er kompakt, og A ⊆ X er en lukket delmængde, så er A en kompakt
delmængde.
(ii) Hvis X er et Hausdorff-rum og A ⊆ X er kompakt, så er A en lukket delmængde
af X.
Bevis. (i): Antag at X er kompakt og A er lukket i X, og lad {Uα | α ∈ I} være en
åben overdækning af A. Da X − A er åben, vil
{Uα | α ∈ I} ∪ {X − A}
være en åben overdækning af X. Der findes derfor en endelig mængde J ⊆ I, så at
Uα ∪ (X − A) = X.
α∈J
Da A ∩ (X − A) = ∅ følger heraf, at A ⊆
α∈J Uα.
(ii): Antag at X er et Hausdorff-rum og A er kompakt. Vi skal vise, at X − A er
åben i X. Ifølge Lemma 5.5 er det nok at vise, at X − A = int(X − A), eller at
X −A er en omegn af ethvert af sine punkter. Så lad x ∈ X −A være et fast punkt.
Vi skal finde en åben mængde Ux ⊆ X − A, så x ∈ Ux .
Da X er Hausdorff, findes der til hvert a ∈ A, åbne omegne Va af a og Ua af x
med Va ∩ Ua = ∅. Det er klart, at {Va | a ∈ A} er en åben overdækning af A, og
da A er forudsat at være kompakt, er der endelig mange punkter a1, . . .,ak, så at
A ⊆ Va1 ∪ Va2 ∪ · · · ∪ Vak Nu tager vi
U x = Ua1 ∩ · · · ∩ Uak .
Det er en åben mængde i X, x ∈ Ux , og da Uai ∩ Vai = ∅, er også
(Ua1 ∩ · · · ∩ Uak ) ∩ (Va1 ∪ · · · ∪ Vak ) = ∅.
Dermed er U x ∩ A = ∅.