Noter til Geometri - Aarhus Universitet

3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger 15
Dette betyder, at x1 og x2 begge er fikspunkter for
T : C(K0, D0) → C(K0, D0).
Entydighedsdelen af Sætning 2.6 fortæller, at x1(t) = x2(t) for t ∈ K0. Betragt nu
mængden
E+ = {t ∈ I | t > t0, x1|[t0,t] = x2|[t0,t]}.
Da x1 og x2 stemmer overens på K0, er E+ = ∅. Lad t+ = sup E+. For ethvert
t0 ≤ t < t+ er x1(t) = x2(t). Hvis t+ ligger i det åbne interval I = (a, b), så ville
x1(t+) = x2(t+), da x1 og x2 er kontinuerte og x1(t) = x2(t) for t < t+. Men dette
ville medføre at x1(t) = x2(t) i en omegn K+ af t+, i modstrid med definitionen af
t+ = sup E+. Det følger, at t+ = b, det højre endepunkt af I. Helt tilsvarende kan
vi indføre E− og vise, at t− = inf E− er venstre endepunkt af intervallet I. Dette
viser entydighedsudsagnet.
Hovedsætning 3.1 giver også oplysning om løsning af højere ordens differentialligninger.
Som eksempel betragter vi 2. ordens ligninger, dvs. ligninger af formen
hvor g er en kontinuert funktion
x ′′
(t) = g(x(t), X ′
(t), t) (3.13)
g : V × R n × I → R n
og V ⊆ R n er åben. Vi vil antage at g opfylder (3.3) med U = V × R n ⊆ R 2n .
Sætning 3.3. Til hvert (x0, y0) ∈ V × R n og t0 ∈ I findes et åbent delinterval
t0 ∈ J ⊆ I og en to gange differential kurve x : J → V således at
(i) x ′′
(t) = g(x(t), x ′
(t), t),
(ii) x(t0) = x0 og x ′
(t0) = y0
Hvis x1, x2 : I → U opfylder (i) og (ii), så er x1 = x2.
Bevis. Hvis x(t) opfylder (i) og (ii), så vil kurven x(t), y(t) ⊆ V × Rn , hvor y(t) =
x ′
(t), opfylde ligningerne
x ′
(t) = y(t)
y ′
(t) = g(x(t), y(t), t)
(3.14)
Hvis omvendt (x(t), y(t)) opfylder 3.14, så opfylder x(t) ligningen 3.13. Heraf ses at
Sætning 3.3 følger fra Hovedsætning 3.1.
Tilsvarende eksistens- og entydighedssætninger kan bevises for n’te ordens differentialligninger.