Noter til Geometri - Aarhus Universitet

46 8. Regulære flader i R 3
Lemma 8.3. Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade og W ⊆ S en delmængde. Så er
følgende ækvivalente:
(i) W er åben i S (i sportopologien).
(ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) gælder at x −1 (W) ⊆ R 2 er åben.
(iii) For ethvert p ∈ W findes et koordinatsystem (U, x) med p ∈ x(U) så x −1 (W) ⊆
R 2 er åben.
Bevis. (i) ⇒ (ii) er klar da x: U → S er kontinuert.
(ii) ⇒ (iii) er klar.
(iii) ⇒ (i). Overdæk W med koordinatomegne {U ′ α }α∈A med tilhørende parametriseringer
xα: Uα → U ′ α, således at x−1 α (W) = x−1 α (U ′ α ∩ W) er åben. Så er iflg.
Definition 8.1 (ii) U ′ α ∩ W åben i S så
W =
∩ W
α∈A
er åben i S.
Eksempel 8.4 (Sfæren). S 2 = {(x, y, x) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Lad U ⊆ R 2 ,
U = {(u, v) | u 2 + v 2 < 1} og sæt x(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), (u, v) ∈ U. Så er
U ′ α
x(U) = U ′ = S 2 ∩ V, (u, v) ∈ U
hvor V = {(x, y, z) | z > 0} og x−1 : U ′ → U er restriktionen af projektionen
π: V → U givet ved π(x, y, z) = (x, y). Dvs. x er en homeomorfi. Endvidere er
Jacobi-matricen
⎛ ⎞
1 0
Dx = ⎝0
1⎠
∗ ∗
klart af rang 2. På samme måde dækkes den nedre halvkugle og tilsvarende den
østlige og vestlige halvkugle med lokale kortomegne. Heref ses at S 2 er en regulær
flade.
På sfæren er det ofte nyttigt at bruge de sfæriske koordinater konstrueret som
følger: Lad (θ, ϕ) ∈ R 2 og sæt
x(θ, ϕ) = (sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ).
Her er x ikke injektiv; men restriktionen til f.eks.
U = {(θ, ϕ) | 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π}
er injektiv og afbilder på U ′ ⊆ S 2 \ C, hvor
C = {(x, y, z) | x ≥ 0}.