Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8.1. Generelle konstruktioner af flader 49
Thi lad (u, v) ∈ N; så er q = (u, v, h(u, v)) ∈ f −1 (a) ifølge (8.3), og da F(q) =
(u, v, a) ∈ W er q ∈ V . Omvendt lad q = (x, y, z) ∈ f −1 (a) ∩ V . Så er
F(x, y, z) = (x, y, a) ∈ N × {a},
så (x, y) ∈ N og z = g(x, y, a) = h(x, y), så q ∈ grafen for h. Dette viser ovenstående
påstand.
Ifølge Proposition 8.5 er f −1 (a) ∩ V nu en regulær flade med lokalt kort
x: N → f −1 (a) ∩ V
givet ved x(u, v) = (u, v, h(u, v)), hvilket dermed givet et lokalt koordinatsystem for
S i en omegn af p.
Eksempel 8.8 (Ellipsoiden). Lad a, b, c > 0 og betragt S ⊆ R 3 :
Sæt
Så et S = f −1 (0) og
S =
(x, y, z) ∈ R 3
f(x, y, z) = x2
a
b
x2 y2 z2
+ +
2 2
a
y2 z2
+ + 2 2
Df(x,y,z) =
b
c
= 1 .
2
c 2 − 1, (x, y, z) ∈ R3 .
2x 2y 2z
, ,
a2 b2 c2
.
Denne vektor er kun nul for (x, y, z) = (0, 0, 0), så det eneste kritiske punkt for f
er (0, 0, 0) som ikke ligger på S. Ifølge Proposition 8.7 er S derfor en regulær flade.
Specielt for a = b = c = 1 fås at S = S 2 er en regulær flade.
Eksempel 8.9 (Omdrejningshyperboloiden). Lad
Så er S = f −1 (0) for funktionen
S = (x, y, z) ∈ R 3 −x 2 − y 2 + z 2 = 1 .
f(x, y, z) = −x 2 − y 2 + z 2 − 1, (x, y, z) ∈ R 3 .
Igen er kun (0, 0, 0) kritisk punkt for f og (0, 0, 0) /∈ S så S er en regulær flade.
Bemærk at S ikke er kurvesammenhængende. Thi antag γ : [0, 1] → S kontinuert
kurve så γ(0) = (0, 0, −1) og γ(1) = (0, 0, 1) og skriv γ på formen γ(t) =
x(t), y(t), z(t) . Så er z(t) en kontinuert funktion så z(t) 2 = 1 + x(t) 2 + y(t) 2 ≥ 1
for alle t ∈ [0, 1]; dvs. enten z(t) ≥ 1 ∀ t ∈ [0, 1] eller z(t) ≤ −1 ∀ t ∈ [0, 1]. Men
dette strider mod at z(0) = −1 og z(1) = 1.