Noter til Geometri - Aarhus Universitet

4. Den globale eksistenssætning 19
dvs.
|A| =
i,j
a 2 ij
1/2
.
Lad A : I → Mn(R) være en kontinuert afbildning. Dette er ækvivalent med udsagnet,
at hver indgang aij(t) er kontinuert. Vi betragter differentialligningen
x ′ (t) = A(t) · x(t), x(t0) = x0 (4.6)
hvor x : I → R n er en differentiabel kurve. Med notationen brugt ovenfor er f(x, t) =
A(t)x. Vi viser at denne funktion opfylder (4.1).
Lad K være et lukket og begrænset delinterval af I. Betragt nu funktionen
g : R n × K → R givet ved
g(x, t) = |A(t)x|
for (x, t) ∈ R n × K. Da g er en sammensætning af kontinuerte funktioner, er g
kontinuert. Men så er g begrænset på den lukkede og begrænsede mængde:
(x, t) ∈ R n × K |x| = 1 .
Altså lad cK ∈ R, således at g(x, t) ≤ cK for t ∈ K og |x| = 1. Lad nu x, y ∈ Rn være vilkårlige, således at x = y og t ∈ K. Vi ser da, at g y−x
|x−y| , t ≤ cK, hvilket er
ækvivalent med, at
|f(y, t) − f(x, t)| ≤ cK|y − x|,
som netop er (4.1).
Korollar 4.4. Lad I være et åbent interval og A : I → Mn(R) en kontinuert
afbildning. For t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes der en entydig bestemt differentiabel kurve
x : I → R n som er løsning til (4.6).
Bemærkning 4.5. I både §3 og §4 har vi antaget, at funktionen
f : U × I → R n
er kontinuert, og vi har fundet differentiable løsninger x(t) til differentialligningen
x ′ (t) = f(x(t), t).
Hvis vi antager, at f er uendelig ofte differentiabel, så bliver løsningerne x(t) også
uendelig ofte differentiable. Dette følger induktivt fra selve differentialligningen.
Som anvendelse kan vi nu endelig vise eksistensdelen i følgende:
Sætning 4.6 (Kurveteoriens Hovedsætning). Givet glatte funktion k(s) > 0
og τ(s), s ∈ I = (a, b) så findes en kurve α : I → R 3 parametriseret ved kurvelængde
s, så k(s) er krumningen og τ(s) er torsionen af α. Yderligere er α éntydigt
bestem på nær en flytning.