Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 51
er en C ∞ afbildning. Men π x◦ π◦x −1 (x, y) = (x, y) så der findes en C ∞ funktion
f : V2 → R så
x ◦ π ◦ x −1 (x, y) = x, y, f(x, y) , (x, y) ∈ V2.
Dvs. V er grafen for f.
Bemærkning. Her er x1 = x◦ π◦x −1 : V2 → V altså et koordinatsystem ligesom
i Proposition 8.5. Vi vil kalde et sådant for et graf-koordinatsystem. Proposition 8.11
udtrykker altså at ethvert punkt på en regulær flade har en koordinatomegn for et
graf-koordinatsystem.
Hvis en delmængde S ⊆ R 3 vides at være en regulær flade er betingelse (ii) i
Definition 8.1 for et koordinatsystem overflødig:
Proposition 8.12. Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade, lad U ⊆ R 2 være åben og
lad x: U → S være en injektiv afbildning så
(i) x: U → S ⊆ R 3 er C ∞ ,
(iii) for alle q ∈ U er dxq : R 2 → R 3 injektiv
Så er U ′ = x(U) åben i S og
(ii) x: U → U ′ er en homeomorfi.
Bevis. Det er nok at vise at U ′ = x(U) er åben; thi så gælder for enhver åben
delmængde U1 ⊆ U også at x(U1) ⊆ S er åben da betingelserne i propositionen er
opfyldt for x|U1 : U1 → S. Heraf følger (ii). For at vise at U ′ = x(U) er åben i S er
det ifølge Lemma 8.3 nok at vise at der for et vilkårligt p ∈ U ′ findes et passende
koordinatsystem y: W → S med p ∈ W ′ = y(W) så y −1 (U ′ ) er åben i R 2 . Hertil
kan vi ifølge Proposition 8.11 vælge et graf-koordinatsystem
y(x, y) = x, y, f(x, y) , (x, y) ∈ W ⊆ R 2 ,
med invers afbildning π|W ′ : W ′ → W, hvor igen π er projektionen π(x, y, z) = (x, y)
for (x, y, z) ∈ R 3 . Så er N = x −1 (W ′ ) ⊆ U åben og h = π|W ◦ x: N → W er
givet ved h(u, v) = x(u, v), y(u, v) . Nu er x = y ◦ h, så ifølge kædereglen og
forudsætning (iii) har h ikke-singulær Jacobi-matrix i ethvert punkt af N. Ifølge
Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) er h så en lokal diffeomorfi og da den
samtidig er injektiv er
h(N) = y −1 x(N) = y −1 (W ′ ∩ U ′ ) = y −1 (U ′ )
åben i W ⊆ R 2 , hvilket skulle vises.
Sætning 8.13. Lad S være en regulær flade og x: U → U ′ et koordinatsystem på
S. Lad W ⊆ R n være en åben mængde og f : W → R 3 en C ∞ -afbildning, således at
f(W) ⊆ U ′ . Så er x −1 ◦ f : W → U en C ∞ -afbildning.